મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓ: અંક (૧૦) : શ્રીનિવાસ રામાનુજન

દીપક ધોળકિયા

ઓગણીસમી સદીના લગભગ અંત વેળાએ અને વીસમી સદીનો સૂર્ય હજી આભમાં ઊંચે આવે તે પહેલાં વિદાય થઈ ગયેલા મહાન ગણિતશાસ્ત્રી ​શ્રીનિવાસ રામાનુજન​ના નામથી આજે ભારતમાં પરિચિત ન હોય એવું કોણ હશે? દુનિયાના ગણિતશાસ્ત્રીઓ આ નામ આદરથી લે છે અને એમના કામનો હજી પણ અભ્યાસ ચાલે છે. શ્રીનિવાસ રામાનુજન ​ભારત માટે એક ગૌરવશાળી નામ છે. ​એમના વિશે આપણે એટલું બધું જાણીએ છીએ કે કંઈ નવું લખવાનું નથી. તેમ છતાં એટલું ઓછું જાણીએ છીએ કે લખવા બેસો તો એક પુસ્તક બને કારણ કે એમનું કામ નથી જાણતા. જેમ આજ સુધીના બધા લેખોમાં થયું છે તેમ રામાનુજન માટે એક લેખ પૂરતો નથી. એમનું નામ ‘નંબર થિઅરી’ માટે પ્રખ્યાત થયું છે. ગણિત અથવા ખાસ કરીને નંબર થિઅરીમાં કલ્પનાને ઘણો અવકાશ છે. એ સામાન્ય ગણિત નથી કે જેમાં 1+2+3+4……નો સરવાળો સીધો જ કોઈ રૅશનલ સંખ્યામાં આવે.(4 સુધી જ અટકો તો જવાબ 10 મળે પણ સંખ્યા તો અનંત સુધી જઈ શકે છે). ગણિત અને ગણિતશાસ્ત્રીઓ જે દેખીતું છે ત્યાં અટક્યા હોત તો ગણિતનો – અને આજના વિજ્ઞાનનો પણ – વિકાસ ન થયો હોત. આ સરવાળાનો રામાનુજન શું જવાબ આપે છે? ​એમનો જવાબ છેઃ 1+2+3+4 clip_image002…..= -1/12…! આવો જવાબ આપનારો કાં તો ઘનચક્કર હોય, કાં તો કોઈ બીજી જ, આપણાથી જુદા પ્રકારની દુનિયાનો માણસ હોય. ખરું જોતાં, આ સમીકરણ આ જ દુનિયાનું છે કેમ કે, આપણને આજે જે સ્વાભાવિક લાગે છે તે 1+2+3+4 = 10 પણ કોઈ સામાન્ય વાત નથી. એ પણ બહુ લાંબી ગાણિતિક પ્રક્રિયા પછી સમજાયેલું સત્ય છે.

રામાનુજનનો બાલ્યકાળ

૧૮૮૭ની ૨૨મી ડિસેમ્બરે રામાનુજનનો જન્મ તમિળનાડુના ઇરોડમાં એમની નાનીને ઘરે થયો. પિતા કુંભકોણમમાં સામાન્ય એકાઉંટન્ટ હતા અને સાથે કપડાંનો વેપાર પણ કરે. માતા પણ મંદિરમાં ભજનો ગાય અને મહિનામાં થોડુંઘણું કમાઈ લે. બ્રાહ્મણ પરિવારની સ્થિતિ આમ પણ સારી ન હોય. તેમાં રામાનુજનના પિતા ગરીબોમાં​ ​પણ​ ​ગરીબ​ ​હતા.

૧૯૦૩માં ૧૨ વર્ષની ઉંંમરે રામાનુજને એમનાથી મોટા એક છોકરા પાસેથી સિડની લક્સ્ટન લોની (Sidney Luxton ​Loney – ​૧૮૬૦-૧૯૩૯)નું ત્રિકોણમિતિ વિશેનું પુસ્તક વાંચવા લીધું. પુસ્તક હાથમાં આવતાં જ જાણે એ તો એ​ ​પી​ ​ગયા.​ ​તમિળનાડુમાં​ ​લોનીનાં​ ​પુસ્તકો​ ​આજે​ ​પણ​ ​લોકપ્રિય​ ​છે. તે પછી ૧૫ વર્ષની ઉંમરે એમણે કૉલેજની લાઇબ્રેરીમાંથી જ્યૉર્જ શૂબ્રિજ કાર (George Shoobridge ​Carr – ૧૮૩૭ -૧૯૧૪)નું ) પુસ્તક વાંચવા લીધું. આ પુસ્તકમાં લગભગ ૬,૦૦૦ પ્રમેયો છે, પરંતુ એ બરાબર ખુલાસાવાર સમજાવેલાં નથી. રામાનુજન પર આ પુસ્તકનો બહુ પ્રભાવ પડ્યો અને એ પુસ્તક એમની સ્ટાઇલ માટે આદર્શરૂપ બની રહ્યું. રામાનુજન પણ કોઈ પ્રૉબ્લેમનો ઉકેલ શોધતા હોય તો છેવટે એનું પરિણામ લખી દેતા. બહુ ખુલાસો કરીને સમજાવવા જેટલા કાગળો પણ એમની પાસે નહોતા અને સમય પણ નહોતો. એ તો એમ જ માનતા કે આટલું લખવાથી જાણકાર તો સમજી જ જશે.

જીનિયસની કોણી કાળી!

આર્થિક સ્થિતિ સારી ન હોવાથી ઢગલાબંધ કાગળો બગાડવાનું તો એમને પોસાય તેમ નહોતું એટલે સ્લેટ પર બધી ગણતરી કરતા અને પછી એમને મળેલી ફૉર્મ્યુલા નોટબુકમાં લખી લેતા. મદ્રાસમાં એ સ્કૉલરશિપ પર રહેતા અને દિવસમાં એક વાર કે બે દિવસે એક વાર ખાવાનું બનાવીને ચલાવતા. પરંતુ એમની કીર્તિ એ વખતે ફેલાઈ ગઈ હતી. એક વાર એમના મિત્ર એમને મળવા ગયા અને કહ્યું કે હવે તમને બધા જીનિયસ તરીકે ઓળખે છે. રામાનુજને પોતાની કોણી દેખાડીને કહ્યું કે જીનિયસ બનવામાં આ કોણી કાળી થઈ ગઈ છે! જે કંઈ લખું છું તે સ્લેટમાં જ લખું છું અને લખેલું ભુંસાડવા માટે આ કોણી જ કામ આવે છે! આ જવાબ દેખાડે છે કે મિત્રો સાથે એમને ટીખળના સંબંધો હતા, બહુ ગંભીર કે ‘મૂજી માસ્તર’ નહોતા.

એમની બધી ફૉર્મ્યુલાઓની ચકાસણી કરવી પડી છે અને એમનાં બધાં પગથિયાંમાં પૂર્ણ વિકાસ તો બીજાઓએ કર્યો છે અને હજી પણ કરે છે! લોનીના પુસ્તકમાં મુખ્યત્વે ભૂમિતિ અને કેલ્ક્યુલસ વિશે ઘણું છે, પણ સંકુલ ચલ (complex variables) અને એલિપ્ટિકલ ફંક્શન્સ વિશે એમાં કશું જ નહોતું. એટલે કે આ વિષયો શીખવાનું તો ઠીક, પણ રામાનુજન એમના પરિચયમાં જ કદી ન આવ્યા.આમ છતાં આ બન્ને વિષયો – સંકુલ ચલ અને એલિપ્ટિકલ ફંક્શન્સ – માં એમણે કરેલાં સંશોધનોએ ગણિતશાસ્ત્રને​ ​નવા​ ​તબક્કામાં​ ​પહોંચાડી​ ​દીધું​ ​છે. આમ જોઈએ તો રામાનુજને ગણિતમાં કોઈ તાલીમ તો લીધી નહોતી. એટલે જ તો એમણે ઘણા શબ્દો પણ એવી રીતે વાપર્યા છે કે એમના ભાષ્યકારો સમજી શક્યા કે એમનો કહેવાનો હેતુ શો છે. એમણે એની જગ્યાએ નવા અને પ્રચલિત શબ્દો વાપર્યા છે.

આ દરમિયાન એમણે ૧૯૦૩માં મૅટ્રિકની પરીક્ષા આપી અને ગણિતમાં ‘ફર્સ્ટ ક્લાસ’ મેળવ્યો, પણ ગણિતમાં એવા લીન થઈ ગયા હતા કે વાર્ષિક પરીક્ષામાં અંગ્રેજી અને ફિઝિયોલૉજીમાં નાપાસ થતાં વરસ બગડ્યું. ચાર વર્ષ પછી પાચિયપ્પા કૉલેજમાં દાખલ થયા તો પણ હાલત એ જ રહી. ગણિત સિવાય બધામાં નાપાસ!

ઘરની​ ​જવાબદા​રી

૧૯૦૯માં જાનકી​નામની​ ​એમનાથી​ ​દસ​ ​વર્ષ​ ​નાની​ ​કન્યા​ ​સાથે​ ​એમનાં​ ​લગ્ન​ ​થઈ​ ​ગયાં. પરણ્યા પછી એમને ઘરની જવાબદારી જેવું લાગ્યું એટલે ‘ઇંડિયન મૅથેમૅટિકલ સોસાઇટી’​ના સ્થાપક વી. આર. અય્યર​ને મળ્યા. અય્યર એ વખતે ડેપ્યુટી કલેક્ટર હતા. રામાનુજને એમને નોકરી આપવા વિનંતી કરી. અય્યરે એમનાં પ્રમેયો જોયાં અને આશ્ચર્યમાં ગરકાવ થઈ ગયા. એમણે રામાનુજનને એમના જ જૂના શિક્ષક, કુંભકોણમ કૉલેજના ગણિતના અધ્યાપક ​પી. વી. શેષુ રાવ પાસે મોકલ્યા. રાવે એમને બીજા એક શ્રીમંત ગણિતશાસ્ત્રી ​રામચંદ્ર રાવ પાસે મોકલ્યા. રામચંદ્ર રાવ પૈસેટકે સુખી હતા અને મદદ કરી શકે એમ હતા. એ તો એમનાં પ્રમેયો જોઈને બહુ જ પ્રભાવિત થયા. એમને લાગ્યું કે એ રામાનુજન નોકરી ન કરે અને ગણિત ચાલુ રાખે તે સારું થશે. એટલે એ તરત માસિક​ ​સ્કૉલરશિપ​ ​આપવા​ ​સંમત​ ​થઈ​ ​ગયા.

આમ એમને મહિને ૭૫ રૂપિયા મળતા થઈ ગયા, પરંતુ રામાનુજન કોઈનો અહેસાન લેવા તૈયાર નહોતા એટલે નોકરી પણ શોધતા રહ્યા. ૧૯૧૨માં એમને મદ્રાસ પોર્ટ ટ્રસ્ટમાં ક્લાર્ક તરીકે ૨૫ રૂપિયાના પગારે નોકરી મળી. આમાં એમણે ૭૫ રૂપિયાની માસિક મદદ છોડી દીધી! સંયોગવશાત્ પોર્ટ ટ્રસ્ટના ચેરમૅન ​સર ફ્રાન્સિસ સ્પ્રિંગ કુશળ ઇજનેર હતા અને મૅનેજર ​એસ. એન. અય્યર​ પણ ગણિતમાં બહુ આગળ વધ્યા હતા. એમણે બન્નેએ રામાનુજનમાં બહુ રસ લીધો અને એમનાં પ્રમેયો​ ​લંડનમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓને​ ​​ ​મોકલવા​ ​આગ્રહ​ ​કર્યો. clip_image004

હાર્ડીને​ ​પત્ર

રામાનુજને પહેલાં તો કૅમ્બ્રિજના ‘​કેઇલી’ લેક્ચરર (ગણિતશાસ્ત્રી કેઇલીના નામથી શરૂ થયેલી ચેર) એચ. એફ. બેકર અને પ્રખ્યાત ઍનાલિસ્ટ . ડબ્લ્યૂ હૉબ્સન​ને પોતાનાં પ્રમેયો મોકલ્યાં પણ બન્નેએ કશી જ ટિપ્પણી વિના જ​ ​એમને​ ​પાછાં​ ​મોકલી​ ​દીધાં. ૧૯૧૩માં રામાનુજને બેકરના અનુગામી ​જી. એચ. હાર્ડી​ને પ્રમેયો મોકલાવ્યાં. ૧૭ પાનાંનો પત્ર લંડનમાં હાર્ડીને મળ્યો ત્યારે ઉપરટપકે નજર નાખતાં એમને જણાયું કે ઘણી ફૉર્મ્યુલા શોધાઈ ગઈ છે પણ આ હિંદુસ્તાની છોકરાને એની ખબર નથી અને એણે નકામી મહેનત કરી છે, તો અમુક ફૉર્મ્યુલાઓ ખોટી છે. પરંતુ અમુક એવી હતી કે એમને એમાં રસ પડ્યો અને આશ્ચર્ય પણ થયું. આમ છતાં એમણે પોતાના સાથી ​લિટલવૂડ​ને પત્ર દેખાડ્યો. મોકલનાર મહા ગાંડો હતો કે મહા જીનિયસ, તે ચકાસી જોવાનું એમને મન થયું. બન્ને ચેસ-રૂમમાં ગયા અને અઢી કલાકે બહાર આવ્યા ત્યારે એમને પ્રતીતિ થઈ ગઈ હતી કે પત્ર મોકલનાર મહા જીનિયસ હતો – અને એમના હાથમાં​ ​જે​ ​કાગળો​ ​હતા,​ ​એમાં​ ​ગણિતની​ ​નવી​ ​દિશાઓની​ ​ચાવી​ ​હતી! આજે​ ​આ​ ​પત્રનું​ ​એક​ ​પાનું​ ​ખોવાઈ​ ​ગયું​ ​છે,​ ​પણ​ ​અહીં​ ​​ ​બે ​પાનાં​ ​​ ​નમૂના​ ​​ ​તરીકે​ ​આપ્યાં​ ​છે.

( પાનાં અહીં http://blog.stephenwolfram.com/2016/04/who-was-ramanujan/પરથી લીધાં છે, જે એમણે Syndics of Cambridge University Libraryની અનુમતિથી ઉપયોગમાં લીધાં છે. અહીં માત્ર જ્ઞાનવર્ધનના ઉદ્દેશથી નમૂના તરીકે મૂક્યાં છે. બ્લૉગના સંચાલક અને લેખક સ્ટીફન વૉલ્ફ્રૅમનો આભાર. પાનાં નં. , અને ૧૧ પર ક્લિક કરવાથી આખું પાનું વાંચી શકાશે. રામાનુજનના​ ​હસ્તાક્ષરમાં​ ​૧૧મું​ ​પાનું​ ​છે,​ ​તેમાં​ ​આપણે​ ​શરૂઆતમાં​ ​જે​ ​ફૉર્મ્યુલા​ ​જોઈ​ ​તે​, ​​ ​1+2+3+4….=​ ​-1/12 પણ જોઈ શકશો.).

સ્ટીફન વૉલફ્રૅમ એમની ફૉર્મ્યુલાઓ પર ટિપ્પણી કરતાં લખે છે કે આવી કેટલીક ફૉર્મ્યુલાઓવાહિયાતલાગે; કેટલીક એવી છે કે એમાં અખતરા કર્યા હોય એવું લાગે અને કેટલાંક સમીકરણો એવાં છે કે એમ સવાલ થાય કે શું છે? ક્યાંથી આવ્યાં? સાચાં છે ખરાં? કૉલેજ સ્તરના કૅલ્ક્યુલસમાં આવી અવધારણાઓથી આપણે પરિચિત છીએ, પણ તો કૉલેજ સ્તરના કૅલ્ક્યુલસનાં જટિલ સમીકરણો પણ નથી! ધ્યાનથી જુઓ તો એમાં કશુંક અલૌકિક અને આશ્ચર્યજનક છે, જે ગણિતને નવા સ્તરે લઈ જતું હોય એમ લાગે છે. અને પહેલી નવાઈની વાતજે હાર્ડીએ ૧૯૧૩માં અનુભવી છે કે બધી ફૉર્મ્યુલાઓ મૂળભૂત રીતે સાચી છે. પણ આવું કરનારો માણસ કયા પ્રકારનો હશે? એણે કેમ કર્યું? બધું શું એક બહુ મોટા ચિત્રના​ ​ભાગરૂપ​ ​છે​ ​કે​ ​ગણિતની​ ​છૂટીછવાઈ​ ​હકીકતો?

રામાનુજન​ ​કૅમ્બ્રિજમાં

હાર્ડી એવા અભિભૂત થઈ ગયા હતા કે એમણે રામાનુજનને કૅમ્બ્રિજ આવવા આમંત્રણ આપ્યું એટલું જ નહીં, એના માટે પ્રયત્નો પણ શરૂ કરી દીધા. પરંતુ માતાએ ના પાડી દીધી. સમુદ્ર પાર કરવાથી માણસ વટલાઈ જાય! કદાચ એ જ કારણ ન હોય. બીજું કારણ કદાચ એ હતું કે એમને એ જ વર્ષના મે મહિનાથી મદ્રાસ યુનિવર્સિટી તરફથી ૭૫ રૂપિયાની સ્કૉલરશિપ મળી હતી. આ એમના માટે માન્યતા મળ્યા જેવું હતું અને કદાચ રામાનુજન એ છોડવા નહોતા માગતા. જો કે, મદ્રાસમાં ગણિતના પ્રોફેસર રિચર્ડ લિટલહેલ્સ અને બીજાઓ એમના પર દબાણ કરતા રહ્યા. અંતે માતાએ પણ રજા આપી દીધી.

હવે ઇંગ્લૅંડ જવાની તૈયારીઓ શરૂ થઈ. પાઘડી અને ધોતિયું તો ઇંગ્લૅંડમાં ચાલે નહીં. ચંપલ પણ ન ચાલે. રામાનુજન માટે કોટ-પાટલૂન બન્યાં, પાઘડીની જગ્યાએ હૅટ આવી ગઈ અને સૌથી દુઃખદ વાત એ હતી કે….ચોટલી કપાવવી પડી! અંતે એ ૧૯૧૪માં કૅમ્બ્રિજ પહોંચ્યા.

રામાનુજનનો ફોટો

લેખની શરૂઆતમાં રામાનુજનનો ફોટો આપ્યો છે તે હાર્ડીએ પોતાના પુસ્તક Ramanujan, Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work (Cambridge University Press, 1940) માટે પસંદ કર્યો. એ જ આજે પ્રખ્યાત થયો છે. રામાનુજનના ફોટા બહુ નહોતા અને હાર્ડી પુસ્તક માટે સારો ફોટો શોધતા હતા પણ જે ફોટા મળ્યા તે હાર્ડીને પસંદ ન આવ્યા..

imageimage

એકમાં રામાનુજન ગાઉન પહેરીને ઊભા છે. હાર્ડીએ કહ્યું કે આમાં તો એ ridiculous લાગે છે. એ જ અરસાના બીજા ફોટામાં રામાનુજન બેઠા છે. ૧૯૩૭માં મદ્રાસી ગણિતશાસ્ત્રી ચંદ્રશેખર કૅમ્બ્રિજ ગયા ત્યારે હાર્ડીએ એમને સારો ફોટો ભારતથી મોકલવા કહ્યું. ચંદ્રશેખર ભારત આવ્યા અને ખૂબ મહેનત કરીને જાનકી દેવીનું ઘર શોધી લીધું. એ તદ્દન સાદા ઘરમાં રહેતાં હતાં. એમની પાસે કોઈ ફોટો નહોતો. પણ એમણે રામાનુજનનો પાસપોર્ટ આપ્યો. એમાં ૧૭ વર્ષ પછી પણ ફોટો સારો હતો. ચંદ્રશેખર ફરી હાર્ડીને મળ્યા અને ફોટો આપ્યો. ફોટો જોઈને હાર્ડીએ ટિપ્પણી કરી – બીમાર તો લાગે છે પણ સુવાંગ જીનિયસ દેખાય છે.” આજે આપણે હાર્ડીએ પસંદ કરેલા ફોટાથી જ રામાનુજનને ઓળખીએ છીએ.

કામ અને બીમારી

ઇંગ્લૅંડમાં એમને શાકાહારી ભોજનની​ ​બહુ​ ​તકલીફ​ ​પડી​ ​અને​ ​ ​આબોહવા​ ​પણ​ ​ફાવી​ ​નહીં.​ ​તેમ​ ​છતાં,​ ​પહેલાં​ ​ત્રણ​ ​વર્ષ​ ​બહુ​ ​સારાં​ ​વીત્યાં. હાર્ડી લખે છે કે એમણે ત્યાં બહુ કામ કર્યું એ દરરોજ અર્ધો ડઝન નવાં પ્રમેયોહાર્ડીને દેખાડતા! પણ પછી ​એમને​ ​ટીબી​ ​લાગુ​ ​પડી​ ​ગયો​ ​અને​ ​કેટલીયે​ ​વાર​ ​સેનેટોરિયમમાં​ ​રહેવું​ ​પડ્યું. રામાનુજને લંડનના ત્રણ વર્ષના રહેવાસ દરમિયાન ૩૨ પેપર પ્રકાશિત કર્યાં, જેમાંથી ૭ હાર્ડીની સાથે લખ્યાં. તે ઉપરાંત હાર્ડીએ બધાં જ પેપરોનું સંપાદન પણ કર્યું. આમ લંડનમાં રહીને એમણે ઘણું કામ કર્યું,એટલું જ નહીં એમણે સઘન પ્રૂફ આપવાની આધુનિક રીતો પણ સ્વીકારી. પરિણામે એમણે પોતે જે તારણો લંડન જતાં પહેલાં આપ્યાં હતાં તેમાંથી ઘણાંખરાં તો સાચાં પડ્યાં પરંતુ કેટલાંક ખોટાં પણ નીકળ્યાં. પરંતુ રામાનુજન ગણિતને વરેલા હતા, ફૉર્મ્યુલાઓને નહીં એટલે જ્યાં ખોટા પડ્યા ત્યાં પણ શું ભૂલ થઈ તે મળતાં એ બહુ ખુશ થઈ જતા. લંડનના ગણિતજ્ઞોના વર્તુળમાં એ એટલા આદરપાત્ર હતા કે ૨૮મી ફેબ્રુઆરી ૧૯૧૮ના એમને રૉયલ સોસાઇટીના ફેલો બનાવવામાં આવ્યા. એમનું નામ રજુ થવાની સાથે જ રૉયલ સોસાઇટીના કર્તાધર્તાઓએ એ સ્વીકારી લીધું. પહેલી જ દરખાસ્તમાં કોઈનું નામ રૉયલ સોસાઇટીએ સ્વીકાર્યું હોય તેવું કદી પણ પહેલાં નહોતું બન્યું અને રામાનુજન પછી, માત્ર નીલ્સ બોહરને આ બહુમાન મળ્યું છે.

clip_image018clip_image020

અવસાન

રામાનુજન માંદગીથી કંટાળ્યા હતા અને ભારત પાછા આવવા માગતા હતા પણ એ પહેલા વિશ્વયુદ્ધના દિવસો હતા એટલે લંડન છોડી ન શક્યા. છેવટે ૨૭મી ફેબ્રુઆરી ૧૯૧૯ના એ લંડનથી રવાના થયા, ભારત આવતાં એમને પસંદ આવે એવું વાતાવરણ મળ્યું અને ખાવાની તકલીફ પણ ન રહી, પણ એમની તબીયત વધારે લથડી. અહીં પણ એ ગણિતમાં જ ખૂંપેલા રહ્યા. અહીં એમણે q-series પર કામ કર્યું પણ તેની બહુ મોડેથી ખબર પડી. એમની એ નોટબુક અચાનક જ મળી અને એનું સંકલન અલગ Lost Notebookને નામે કરવામાં આવ્યું છે. એમનાં સંશોધનો પર વિસ્તાર કરીને પાંચ ભાગ બન્યા તેના ઉપરાંત આ ગ્રંથ પણ છે. એમના જીવનનો અંતિમ મહિનો કષ્ટમય રહ્યો. એમણે બહુ પીડા ભોગવી અને ૨૬મી ઍપ્રિલ ૧૯૨૦ના રોજ આ અવધૂત જેવો ગણિતનો જીવ આ દુનિયા છોડી ગયો.

ગણિત કેમ જાગ્યું?

રામાનુજને પોતે જ આ વાત કરી છે. એમને સપનું આવ્યું કે એક વાર ગલીમાં કોઈ ફેરિયો પીપરમિંટની ગોળીઓ વેચતો હતો. દરેક ગોળીની કિંમત એક આના કરતાં (રૂપિયાના ૧૬મા ભાગ કરતાં) ઓછી હતી, પણ એક ગોળીની કિંમત ૫૦ પૈસા હતી.(જૂનો એક રૂપિયો એટલે ૧૬ આના અથવા ૬૪ પૈસા.આમ ૫૦ પૈસા એટલે કે સાડાબાર આના = આજના ૭૮ પૈસા જેટલું). રામાનુજને એને પૂછ્યું કે આટલો બધો ભાવ કેમ છે. ફેરિયાએ તો કહ્યું કે એને કંઈ ખબર નથી. રામાનુજને એ ખરીદી લીધી. બીજા જ દિવસથી એમના મનમાં ઍરિથમૅટિકલ પ્રોગ્રેશન, જ્યૉમીટ્રિકલ પ્રોગ્રેશન અને હાર્મૉનિક પ્રોગ્રેશનના વિચારો શરૂ થઈ ગયા! આપણે નહીં સમજી શકીએ કે આવી નાની વાતમાંથી એમની અંદરનું ગણિત કેમ જાગ્યું!

હાર્ડીરામાનુજન​ ​નંબર

લંડનમાં એમનો ઉપચાર ચાલતો હતો તે દરમિયાન પણ એમનું મગજ ગણિતમાં જ લાગેલું રહેતું. આ વિશે એક જાણીતો પ્રસંગ છે, પરંતુ એક ખાસ કારણે એનું પુનરાવર્તન કરું છું.. હાર્ડીએ જ આ પ્રસંગ વર્ણવ્યો છે. હાર્ડી એક વાર એમને સેનેટોરિયમમાં મળવા ગયા. એમણે રામાનુજનને કહ્યું કે હું જે ટૅક્સીમાં આવ્યો તેનો નંબર ૧૭૨૯ હતો. આ બહુ નીરસ સંખ્યા છે. રામાનુજન હસ્યા અને કહ્યું કે આ તો બહુ મઝેદાર સંખ્યા છે. એક નાનામાં​ ​નાની​ ​સંખ્યા​ ​છે​ ​કે​ ​જે​ ​બે​ ​ઘન​ ​સંખ્યાઓના​ ​સરવાળા​ ​તરીકે​ ​બે​ ​રીતે​ ​​ ​દેખાડી​ ​શકાય​ ​છેઃ

 clip_image022

૧૭૨૯ આજે હાર્ડીરામાનુજન નંબર અથવા ટૅક્સીકૅબ નંબર તરીકે ઓળખાય છે, કારણ કે આ નંબર હાર્ડીએ ટૅક્સી પર જોયો હતો!

મહાલનોબિસ અને રામાનુજન

ભારતમાં આઝાદી પછી જવાહરલાલ નહેરુએ આયોજન પંચની રચના કરી ત્યારે સુપ્રસિદ્ધ આંકડાશાસ્ત્રી પી. સી. મહાલનોબિસને સૌથી પહેલા ઉપાધ્યક્ષ બનાવ્યા. ૧૯૧૩માં મહાલનોબિસ પણ લંડનમાં હતા અને રામાનુજન સાથે એમની મિત્રતા બંધાઈ હતી. બન્ને રહેતા જુદા પણ મોટા ભાગે સાથે જ જોવા મળતા. એમણે પણ સંખ્યા પર રામાનુજનના પ્રભુત્વનો એક કિસ્સો વર્ણવ્યો છે. એક વાર બન્ને રામાનુજનના રૂમ પર બેઠા હતા. મહાલનોબિસ છાપું વાંચતા હતા અને રામાનુજન નાસ્તો બનાવતા હતા. મહાલનોબિસે છાપામાં એક ઉખાણું હતું તે જોયું. એમને એનો જવાબ તો તરત મળી ગયો પણ એમણે રામાનુજનને પણ જોતર્યા. સવાલ એ હતો કે બે બ્રિટિશ લશ્કરી ઑફિસરો પેરિસમાં એક હોટેલમાં રહ્યા. એમના રૂમો અલગ હતા પણ રૂમના નંબરો વચ્ચે એક સંબંધ હતો, તો એ નંબરો શું હશે? રામનુજને આ સાંભળીને જે કડાઈમાં તવેથો હલાવતાં જ કહ્યું , “જવાબ લખો.” મહાલનોબિસ જવાબ લખવા લાગ્યા. પહેલી સંખ્યા રામાનુજને લખાવી તે તો મહાલનોબિસે શોધી જ હતી, પણ રામાનુજન ત્યાં સુધી અટક્યા નહીં અને આખી શ્રેણી લખાવી. જો આવા સંબંધોવાળી સંખ્યાની આખી શ્રેણી હોય તો એમાં કઈ સંખ્યાઓ હોય તે એમણે ઊભા ઊભા જ, ક્ષણનાયે વિલંબ વિના કહી દીધું, ઉચ્ચ ગણિત જાણનારા સમજી શકશે કે આ continued fractionનું ઉદાહરણ હતું.clip_image024

૧૭૨૯ ની સંખ્યાનો ખુલાસો રામાનુજનના મનમાં ઓચિંતો ઊગ્યો?

આપણે આશ્ચર્ય અનુભવીએ કે રામાનુજનને હાર્ડીએ ૧૭૨૯ના આંકડા વિશે કહ્યું કે તરત એમણે કેમ જવાબ આપી દીધો? રામાનુજન પર સંશોધન કરનારા ગણિતજ્ઞો પણ એમ જ માનતા હતા, પરંતુ. ૨૦૧૫માં એમોરી યુનિવર્સિટીના ગણિતશાસ્ત્રી કૅન ઑનો/Ken Ono અને એમના સાથી ઍન્ડ્ર્યૂ ગ્રૅનવિલ/Andrew Granville કૅમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટીની Wren Libraryમાં રામાનુજનનાં પેપરો તપાસતા હતા એમાં એમને એક પાનું મળ્યું, જે અહીં આપ્યું છે. એમાં છેક નીચે જમણા ખૂણામાં જૂઓ. ત્યાં 1729નો આંકડો તો નથી પણ આપણે ઉપર જોયેલાં એનાં બે સમીકરણો છે જ. ( નો ઘન +૧૦નો ઘન બરાબર ૧૨નો ઘન વત્તા નો ઘન એટલે કે ). આનો અર્થ એ કે રામાનુજન કોઈક જુદું સંશોધન કરતા જ હતા, તેમાં આ સંખ્યા આવી ગઈ હતી, એટલે એમણે હાર્ડીને તરત જ જવાબ આપી દીધો. કૅન ઑનો કહે છે કે હું ત્રીસેક વર્ષથી પોતાને રામાનુજન વિશેનો એક્સ્પર્ટ માનું છું પણ મને આની ખબર નહોતી!

(પાનું https://plus.maths.org/content/ramanujan પરથી સાભાર)

તો, રામાનુજન શું કરતા હતા?

પાયથાગોરસનું પ્રમેય છે કે ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓમાંથી એક લાંબી હોય તો બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો, એ ત્રીજી બાજુના વર્ગ જેટલો થાય છે. ધારો કે એક બાજુ 3 સે. મી,, બીજી 4 સે.મી. અને ત્રીજી બાજુ 5 સે.મી. હોય તો 3નો વર્ગ વત્તા 4નો વર્ગ કરીએ તો એ 5ના વર્ગની બરાબર થાય. એ જ રીતે, ત્રિકોણની એક બાજુ 5 સે.મી., બીજી 12 સે.મી. અને ત્રીજી 13 સે.મી, હોય તો 5નો વર્ગ વત્તા 12નો વર્ગ બરાબર 1૩નો વર્ગ થાય. આ તો વર્ગ થયો પણ ઘન હોય કે ચતુર્ઘાત કે પંચઘાત અથવા અનિશ્ચિત ઘાત (n) હોય તો આવાં પદો મળે કે કોઈ પણ બે સંખ્યાના ઘન, ચતુર્ઘાત વગેરેનો સરવાળો કોઈ એટલી જ ઘાતની ત્રીજી સંખ્યાની બરાબર થાય? ઈ.સ. ૧૬૩૭માં પિયરે દ’ ફેર્મા/Pierre de Fermat કહ્યું કે આવી સંખ્યા નથી. એ વખતથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ એવી સંખ્યા શોધવામાં લાગ્યા અને સાડાત્રણસો વર્ષ પછી એનો જવાબ છેક ૧૯૯૦માં મળ્યો છે. પરંતુ, આ જ પાનાનાં છેક નીચેનાં ત્રણ સમીકરણો જોતાં જણાશે કે એ પણ ઘન ઘાતવાળી સંખ્યાના સરવાળા જેવાં છે. કદાચ રામાનુજન આનો જવાબ શોધતા હતા અને આવી બે ઘન સંખ્યાના સરવાળાને પરિણામે ઘનઘાતવાળી સંખ્યા આવે તેનાથી માત્ર +૧ અથવા -૧ જેટલા દૂર રહ્યા હતા. તો શું રામાનુજનની નૈસર્ગિક પ્રતિભા ફેર્માના કોયડા સામે લાચાર બની ગઈ? આગળ વાંચશું તો ભેદ ખુલશે. ઉપર + કે સુધી જઈને અટકેલા જવાબો એટલું કહે છે કે રામાનુજન પોતે પણ નહોતા જાણતા તેવા ભવિષ્યના ગાણિતિક અને ભૌતિકશાસ્ત્રીય નિયમો લખતા હતા. કદાચ જાણતા પણ નહીં હોય કે કોઈને કામ આવશે. કઈ રીતે? આગળ વાંચો.

સ્ટ્રિંગ થિઅરી અને રામાનુજન

નવાઈ લાગશે, કારણ કે સ્ટ્રિંગ થિઅરીનો વિકાસ ૧૯૬૦ના દાયકામાં થયો, એ વખતે રામાનુજનના અવસાનને ત્રણ દાયકાનો સમય થઈ ગયો હતો. આમ છતાં હવે ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ માને છે કે સ્ટ્રિંગ થિઅરીના પહેલા અંકુર રામાનુજનમાં દેખાય છે. આપણે સ્ટ્રિંગ થિઅરી શું છે તે સાદામાં સાદી ભાષામાં સમજવાની કોશિશ કરીએ તે પહેલાં આપણે એક વાત ધ્યાનમાં રાખવાની છે કે આપણા બ્રહ્માંડને સમજવાના જુદા જુદા પ્રયાસો થયા છે. આ બધું સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં આવે છે, એટલે કે એમાં લૅબમાં સીધા પરીક્ષણ વિના વૈજ્ઞાનિકો ગણિતનો ઉપયોગ કરીને સૄષ્ટિની રચનાનાં અનુમાનો સમજાવે છે. ઘણી વાર ભૌતિકશાસ્ત્રીઓને એમની સમક્ષના ગણિતની મર્યાદા નડે છે ત્યારે તેઓ ગણિતમાં ફેરફાર કરે છે અને આગળ વધે છે. ન્યૂટને આના માટે કૅલ્ક્યુલસ વિકસાવ્યું, ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમો ઘડ્યા. આઇન્સ્ટાઇને સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો. પરંતુ આ બધું છે, ગણિત! સ્ટ્રિંગ થિઅરી પણ ગણિત જ છે.

સ્ટ્રિંગ થિઅરીઃ વૈજ્ઞાનિકો અને ગણિતશાસ્ત્રીઓની એક જ ઇચ્છા રહી છે કે બધું ઓછામાં ઓછા શબ્દોમાં કે એક જ સૂત્રમાં સમજાવી શકાય. આના માટે જુદાં લાગતાં બળોને એક કરવાની દિશામાં એમણે કામ કર્યું. એટલે કે ન્યૂટનથી માંડીને આઇન્સ્ટાઇન અને તે પછી અબ્દુસ્સલામ સુધી બધાએ એ જ દિશામાં કામ કર્યું. ન્યૂટને ગુરુત્વાકર્ષણ બળની હાજરી દેખાડી, સ્કૉટલૅંડના ગણિતજ્ઞ જેમ્સ મૅક્સવેલે દેખાડ્યું કે ઇલેક્ટ્રોસ્ટૅટિક્સ અને ચુંબકત્વ અલગ નથી પણ વીજચુંબકત્વ (Electromagnetism)નાં બે પાસાં છે. 1984માં અબ્દુસ્સલામ અને સ્ટીવન વેઇનબર્ગે કહ્યું કે ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટિક બળ અને વીક ન્યૂક્લિઅર બળ, બન્ને ઇલેક્ટ્રોવીક (Electroweak) બળનાં જ બે પાસાં છે. હવે ત્રણ બળ રહ્યાં – ગુરુત્વાકર્ષણ, ઇલેક્ટ્રોવીક અને પ્રોટોનને ઝકડી રાખનારું સ્ટ્રોંગ બળ.

થઈ બળની વાત, પણ પદાર્થ (matter)નું શું? આપણે યુગોથી માનીએ છીએ કે આખી સૃષ્ટિ નિશ્ચિત સંખ્યાનાં તત્ત્વોની બનેલી છે. આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્ર પણ એમ જ માને છે અને હવે જીનિવામાંCERN પાર્ટીકલ ઍક્સીલરેટરમાં થયેલા પ્રયોગો પછી,એવું નક્કી થયું છે કે સૃષ્ટિના નિર્માણમાં વપરાયેલી ઈંટો માત્ર ૧૨ પ્રકારની છે. એ મૂળભૂત કણો છે.આટલે સુધી તો એકીકરણ થઈ ગયું છે પણ આપણે હજી વધારે આગળ વધવા માગીએ છીએ.

પહેલાં વીસમી સદીના બે મહાન સિદ્ધાંતો ક્વૉન્ટમ મૅકેનિક્સ અને રિલેટિવિટીને જોડવાની વાત થઈ. આઇન્સ્ટાઇને ‘સ્પેસ’ અને ‘ટાઇમ’ને એક ‘સ્પેસ્ટાઇમ’ના ભાગ રૂપે દેખાડ્યાં અને કહ્યું કે ભારે દળદાર પિંડ હોય તે સ્પેસટાઇમને વાંકો વાળી દે છે. આપણે જે ગુરુત્વાકર્ષણ અનુભવીએ છીએ તે સ્પેસટાઇમ વાંકો થઈ જવાને કારણે છે. સાદી ભાષામાં સમજવા માટે ઉદાહરણ લઈએ તો, સર્કસમાં ઊંચે ઝૂલા પર ખેલ ચાલતો હોય ત્યારે નીચે જાળ બાંધી હોય છે. કોઈ કલાબાજ જ્યારે નીચે કૂદે ત્યારે એ જગ્યાએ જાળમાં ખાડો પડી જાય છે. હવે એ ખાડાની નજીક કોઈ વસ્તુ હોય તો એ ખાડામાં પડી જાય છે. એવું જ છે. મોટા પિંડને કારણે સ્પેસટાઇમમાં ખાડો પડતાં નજીકનો પદાર્થ એના તરફ ખેંચાઈ જાય છે.

રિલેટિવિટી અગાધ અંતર અને બહુ મોટા પિંડોને જૂએ છે, પણ ક્વૉન્ટમ મૅકેનિક્સ કહે છે કે જેમ સ્પેસ નાનું કરતા જાઓ તેમ કોઈ નિયમ લાગુ નથી પડતો. ઘટનાઓ આગાહી ન કરી શકાય એ રીતે બને છે. જેમ નાના સ્પેસમાં જાઓ તેમ આવું બનવાની શક્યતા વધી જાય છે. એટલે પરમાણુની અંદરના કણો કંઈ આકાશી પિંડો જેમ નથી વર્તતા. હિઝેનબર્ગે તો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત આપ્યો કે તમે કણની સ્થિતિ અને ગતિ, બેમાંથી એક જ વાત સ્પષ્ટતાથી કહી શકો.

હવે બે સિદ્ધાંત વચ્ચેની સમસ્યા જૂઓ. રિલેટિવિટી કહે છે કે સ્પેસટાઇમ પિંડને કારણે વિસ્તરે કે સંકોચાય છે. ક્વૉન્ટમ કહે છે કે સ્પેસટાઇમ બહુ સૂક્ષ્મ હોય તો આવું બને પણ ખરું – ન પણ બને! ક્વૉન્ટમ સાથે ગુરુત્વબળને કેમ જોડવું? કુદરતમાં બધું અનિયમિતપણે થાય છે એ વિચાર જ ક્રાન્તિકારી છે. ભૌતિકવિજ્ઞાનના જે નિયમો વિરાટ પિંડોને લાગુ પડે છે તે નાના પાયે લાગુ નથી પડતા. આમ બન્ને પરસ્પર વિરોધી સિદ્ધાંતો સાચા હોવા છતાં એમને જોડવા હોય તો કંઈક નવું વિચારવું પડે.

આમાંથી સ્ટ્રિંગ થિઅરી આવી. આપણે કણની કલ્પના કરીએ તો એને એક બિંદુ જેવો કલ્પીએ છીએ. સ્ટ્રીંગ થિઅરી આ કલ્પનાને નકારી કાઢીને કહે છે કે કણ વાળ જેવો હોય તો? તો એની લંબાઈ હોય. એ એક પરિમાણ છે. એટલે નાનામાં નાના સ્તરે આપણે દુનિયાને જોઈએ તો એ કેવી દેખાય તે આ પરિમાણ નક્કી કરે છે! આ સ્ટ્રિંગ એટલે સિતારનો તાર. એ રણઝણે અને સંગીત પેદા થાય. બધા તાર જુદા જુદા ધ્વનિ પેદા કરે. આ ખ્યાલમાંથી સ્ટ્રિંગ થિઅરી જન્મી છે. કણ અને બળ અલગ વસ્તુ નથી, એ અનેક રીતે આંદોલિત થયા કરે છે.આનું ગણિત બહુ જટિલ છે. આપણે એટલું જ જાણીએ કે અત્યારે એની લંબાઈclip_image026છે, જે CERNમાં પણ જોઈ શકાય એમ નથી. આ થિઅરી હજી પૂરી વિકસી નથી પરંતુ એનો દાવો છે કે એ જ એકીકરણનો સિદ્ધાંત છે. સિદ્ધાંત કહે છે કે સૃષ્ટિમાં ત્રણ પરિમાણ નથી, દસ પરિમાણ છે! ત્રણ સિવાયનાં બધાં પરિમાણ દબાઈ ગયાં છે, પરંતુ છે ખરાં! આમ આપણે માત્ર ત્રણ પરિમાણ જોઈ શકીએ છીએ. દુનિયાનાં બીજાં પરિમાણો પ્રગટ થાય તો આખી દુનિયા જોવાની આપણી રીત પણ બદલાઈ જાય!

કામ તો ગણિત કરી શકે. રામાનુજને દિશા ખોલી. એમણે ‘થિટા ફંકશન’ પર કામ કર્યું. આમાં એક કરતાં વધારે પરિમાણો હોય તો શું નિષ્કર્ષ નીકળી શકે તે સમજી શકાય છે. રામાનુજને દેખાડ્યું કે કેટલાંક પરિણામો ‘થિટા ફંકશન જેવાં લાગે છે, પણ છે નહીં. એમને એમણે ‘મૉક થિટા’ નામ આપ્યું (એટલે કે થિટાની નકલ). આ સમીકરણો સ્ટ્રિંગ થિઅરીમાં કામ આવે છે, પણ એની જાણ માંડ પાંચ-સાત વર્ષ પહેલાં થઈ! રામાનુજન પોતે તો કંઈ લખતા નહોતા કે એમના કામનો ઉદ્દેશ શો હતો. પરંતુ મૃત્યુથી એક મહિના પહેલાં એમણે હાર્ડીને પત્ર લખ્યો અને તેમાં આવાં ૧૭ સમીકરણો મોકલ્યાં. આજે સમીકરણો બોસોન સ્ટ્રિંગ થિઅરી, સુપરસ્ટ્રિંગ થિઅરી અને M-થિઅરીમાં વપરાય છે. એટલે 1729 વિશે જવાબ આપતી વખતે રામાનુજન માત્ર સંખ્યા વિશે નહીં, આગળ વિચારતા હતા. અને તે પણ ફેર્માના કોયડાના ઉકેલ સુધી પણ એમનો પ્રયત્ન મર્યાદિત નહોતો, ખરેખર તો એમ માનીને ચાલતા હતા કે બ્રહ્માંડ ત્રિપરિમાણી હોય તો એને જોવાની બીજી કોઈ રીત હોય ખરી? રામાનુજન એકીકરણનો સિદ્ધાંત શોધતા હતા પણ મૃત્યુ એમને આંબી ગયું.

1+2+3+4….n = -1/12 ?

રામાનુજનનો આ જવાબ આપણે ગળે તો ઊતરે તેમ નથી કારણ કે એ આપણી જેમ માત્ર આપણી આસપાસની સૃષ્ટિ નહોતા જોતા. આપણને સમજાય તેવી વાત એ જ છે કે આ શ્રેણી Divergent શ્રેણી છે. એનો અર્થ એ કે સરવાળો કરતા જાઓ તેમ એ સંખ્યા વધતી જ રહેશે. આપણે આ પહેલાં આબેલ અને ગૅલ્વામાં પણ જોયું છે કે સમીકરણની બન્ને બાજુ કોઈ એક બિંદુ પર સમતોલ થવી જોઈએ. ટૉપોલોજીમાં પણ જુદા જુદા પરિમાણમાં આવેલાં બિંદુ એક થઈ જતાં હોય છે. સમીકરણ પણ વાસ્તવિક જગતના પરિમાણોને અનુસરતું હોવું જોઈએ. એટલે એણે સમતોલ થવું જ જોઈએ. આ સમીકરણ સમજાવવા માટે ઓછામાં ઓછા છ મહિનાની તાલીમ લેવી પડે એમ છે એટલે હું એ પ્રયત્ન પણ અહીં નહીં કરું. મેં આનો પ્રભાવિત કરે એવો ઉકેલ યુટ્યૂબ પર[i] જોયો છે, અડધુંપડધું સમજ્યો એવો વહેમ પણ પડ્યો. આવો વહેમ તમને પડે છે કે નહીં તે લિંક પર જઈ, વીડિયો જોઈને નક્કી કરવા વિનંતિ છે! આમ છતાં શક્ય તેટલી હદે, શક્ય તેટલી સાદી ભાષામાં સમજવાનો પ્રયાસ કરીએ તે આ અદ્ભુત ગણિતશાસ્ત્રીને અંજલિ સમાન ગણાશે. ખરું જોતાં, રામાનુજને આ સમીકરણ કેમ બનાવ્યું તેની અટકળ કરવાનો જ આ વીડિયોમાં પ્રયાસ થયો છે. એમાં મૂળ પદાવલીની નીચે કુદરતી સંખ્યાઓ મૂકીને તાળો મેળવવામાં આવ્યો છે. પરંતુ સાવ જ આવો તુક્કો ગણિતની ચર્ચામાં ટક્યો કેમ? એનું કારણ કે. રામાનુજન પર સંશોધન કરનારા વિદ્વાનોને એમાં રિઈમનનું ઝીટા ફંક્શન દેખાયું. શું છે? આપણે પહેલાં સંખ્યાઓનું સ્વરૂપ સમજીએ કે જેથી રિઈમન અને રામાનુજનને સમજવાની દિશામાં પહેલું પગલું ભરી શકીએ.clip_image028

એટલું યાદ રાખશો કે અહીં જે સમજાવ્યું છે તે માત્ર ચાખવા પૂરતું છે, કદાચ તેના પછી વધારે જાણવા માટે તમારી ભૂખ પણ ખૂલે!

ઝીટા ફંક્શન નંબર થિઅરીનું મહત્ત્વનું ઓજાર છે. જે ગણિતશાસ્ત્રીઓને સંખ્યાઓને રમાડવાનો શોખ હોય તેમને એના વિના ચાલતું નથી. આનો વિકાસ બર્નહાર્ટ રિઈમન (મૃત્યુ ૧૮૬૬)) નામના જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીએ કર્યો એટલે એને રિઈમન ઝીટા ફંક્શન કહે છે. આની મદદથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ આપણી નજર સામે ન હોય તેવી દુનિયામાં પહોંચી શક્યા છે. ભૌતિકશાસ્ત્ર એની પાછળ ચાલે છે. રામાનુજને પણ રિઈમન ઝીટા ફંકશનનો ઉપયોગ કર્યો છે પરંતુ એમને રિઈમન ઝીટા ફંક્શન વિશે ખબર હતી કે કેમ તે અલગથી જાણી શકાયું નથી. એમણે આપેલી ફૉર્મ્યૂલાઓ જોઈને સંશોધકોએ નક્કી કર્યું કે એમાં રિઇમન ઝીટા ફંક્શન રહેલું છે.

 

સંખ્યા શું છે?

● સંખ્યાઓની દુનિયામાં જઈએ તો 1, 2, 3,…વગેરે કુદરતી (અથવા સ્વાભાવિક) સંખ્યાઓ છે, જે આપણે સમજી શકીએ છીએ. એ શ્રેણી અનંત છે. એ બધી ધન (+) સંખ્યાઓ છે.

● પરંતુ આપણો અનુભવ ઋણ (-) સંખ્યાઓનો પણ છે. દરરોજ બજારમાં જઈએ છીએ ત્યારે આપણાં ખિસ્સાંમાંથી પૈસા બાદ કરીએ છીએ અને દુકાનદારના ગલ્લામાં ઉમેરીએ છીએ. આમ માત્ર ધન નહીં, ઋણ સંખ્યાઓ પણ છે.

● એટલું જ નહીં અર્ધો, પોણો એવા અપૂર્ણાંકો પણ છે અને સવા, દોઢ જેવાં પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંકનાં મિશ્રણો પણ છે!

હવે થોડા આગળ વધીએ.

● આપણી સંખ્યા વ્યવસ્થામાં ‘મિશ્ર સંખ્યાઓ’ (compound numbers) પણ છે, જેના ભાગ પાડી શકાય છે. દાખલા તરીકે 12 એટલે 3 x 2 x 2.

● અમુક સંખ્યા એવી છે કે એના ભાગ ન પડી શકે. એના નિઃશેષ ભાગ કરવા માટે એ જ સંખ્યાથી ભાગવી પડે. દાખલા તરીકે 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. આવી સંખ્યાઓને પ્રાઇમ નંબરકહે છે.

● વળી સંખ્યાઓ વચ્ચે સંબંધ પણ છે. દરેક સંખ્યાને એ જ સંખ્યા વડે ગુણો એટલે નવો સંબંધ મળશે. દાખલા તરીકે, 2×2=4. 12×12=144. આને વર્ગ કહે છે. એ જ રીતે ત્રણ વાર ગુણો તો ઘન મળે. એમ આગળ વધતા જાઓ.

● ઉલટે રસ્તે જઈએ તો વર્ગમૂળ (વર્ગની સંખ્યાની મૂળ સંખ્યા મળે). આમ દરેક સંખ્યાનાં વર્ગમૂળ (કે ઘનમૂળ વગેરે) પણ છે જ.

● ધન સંખ્યાને જેટલી વાર ધારો તેટલી વાર એ જ સંખ્યાથી ગુણી શકો, તે જ રીતે ભાગી પણ શકો.

● ધન સંખ્યા સાથે એમ કરી શકો તો ઋણ સંખ્યા સાથે પણ કરી શકો. આથી 1નો વર્ગ થઈ શકે. 1×1=1.

● એ જ રીતે. એનું વર્ગમૂળ પણ છેઃ 1÷1=1.

● પરંતુ આ 1 ધન સંખ્યા છે. -1 હોય તો એનું વર્ગમૂળ હોઈ શકે? ગણિતશાસ્ત્રીઓએ -1ને પણ વર્ગમૂળનો અધિકાર આપ્યો છે: √ -1. પરંતુ આ સંખ્યા શું તે કોઈ જાણતું નહોતું એટલે આ સંખ્યાને એ જમાનામાં ‘કાલ્પનિક’ (imaginary) નામ આપવામાં આવ્યું. એના માટે ‘i’ વપરાય છે. આમ √ -1 = i એટલે કે i x i = -1.

● પરંતુ કોઈ પણ બે ઋણ સંખ્યાનો ગુણાકાર કરો તો ઋણનું ચિહ્ન આવી જ ન શકે. બે ઋણનો ગુણાકાર થતાં એ ધન બની જાય! આમ કેમ? કારણ કે આપણે જે ગણિત ભણ્યા છીએ તે આ દુનિયાનું સામાન્ય ગણિત છે. કોઈ નવી દુનિયામાં નવી સંખ્યા વ્યવસ્થા ન હોય?

ખરું જોતાં આ ‘કાલ્પનિક’ સંખ્યા ખરેખર કાલ્પનિક નથી, એનું અસ્તિત્વ છે! માત્ર આપણી સંખ્યા વ્યવસ્થામાં નથી. એ જુદા પ્રકારની સંખ્યા શ્રેણી છે અને એની દરેક સંખ્યા ‘જોડી’ છે, જેમાં એક કુદરતી (આપણી દુનિયાની) સંખ્યા છે અને બીજી સંખ્યા આ કહેવાતી કાલ્પનિક સંખ્યા છે. આને સંકુલ સંખ્યા (Complex Number) કહે છે. દાખલા તરીકે, (a+bi). આમાં a વાસ્તવિક સંખ્યા છે જ, પરંતુ bi માં b વાસ્તવિક અને i કાલ્પનિક સંખ્યાclip_image030 છે. (a+ib) ને આલેખ પર બતાવવાથી સમજવું સરળ થાય છે. અહીં આલેખમાં a = 2 અને b = 1 હોય તેવી સંખ્યા (2+i) બતાવી છે. તે જ રીતે (3 + 3i) પણ દર્શાવી છે.

આવી સંખ્યા ક્યાં જોવા મળે? વીજચુંબકીય ક્ષેત્રમાં. અહીં આપણે વીજતરંગની તીવ્રતા અને ચુંબકશક્તિની તીવ્રતા માપવાની હોય છે. આ જોડી છે. આમ પણ આપણે ‘કાલ્પનિક સંખ્યાઓ’નો ઉપયોગ આપણી રીતે કરીએ જ છીએ. સ્કૂલમાં 18.5 % બાળકો નાપાસ થયાં. કોઈ અડધું બાળક હોઈ શકે? અથવા કોઈ એક બાળક અડધું પાસ થયું હોય અને અડધું નાપાસ થયું હોય એવું બની શકે? પરંતુ આપણે સમજી લઈએ છીએ કે સ્થિતિ શી છે.

આમ સંકુલ સંખ્યાઓ છે અને વ્યાવહારિક જગતમાં એ ન દેખાતી હોય તો પણ વિજ્ઞાનમાં ઘણી જગ્યાએ એનો પ્રભાવ દેખાય છે. ભલે ને, તમારે ક્વૉન્ટિટી વાસ્તવિક સંખ્યામાં શોધવાની હોય, પરંતુ એ સંખ્યા સુધી પહોંચવામાં કાલ્પનિક સંખ્યા બહુ કામ આવે છે. રિઇમને સંકુલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને એક અધિતર્ક(Hypothesis) આપ્યો જે આજ સુધી સાબીત નથી થઈ શક્યો, પરંતુ વ્યવહારમાં એ બહુ અસરકારક પુરવાર થયો છે. આ અધિતર્ક વિશેની ફૉર્મ્યુલા જે લોકો ઉચ્ચ ગણિત જાણતા હોય એમના માટે અહીં આપી છે.

clip_image032

ફૉર્મ્યુલામાં જમણા છેડે જોતાં xને 1 કરતાં મોટો દેખાડ્યો છે. ડાબે છેડે શરૂઆતમાં દેખાતું ζ ચિહ્ન ઝીટાનું છે. એ xનાં જુદાં જુદાં મૂલ્યો સામી બાજુ મૂકવાનું કહે છે. Σ આ સિગ્માનું ચિહ્ન છે. આ બન્ને ગ્રીક અક્ષરો છે. સિગ્મા સરવાળો સૂચવે છે…..clip_image034વગેરે nની કિંમતો મૂકતા જવાની છે. સિગ્માની ઉપર મૂકેલા ચિહ્ન સુધી સરવાળો કરવાનો હોય તો x નું મૂલ્ય શું હોય, એ આ ફૉર્મ્યુલા દેખાડવા માગે છે. અહીં અનંતનું ચિહ્ન મૂકેલું છે. સિગ્માના ચિહ્ન નીચે n છે તે સૂચવે છે કે કોઈ અનિશ્ચિત સંખ્યા સુધી જવાનું છે. (અહીં માત્ર 1 સુધીનાં પદોનો સરવાળો કરવાનો છે). આ રીતે કરતાં x ની ધન કિમતો માટે (જેમ કે x= 1, 2, 3) સંખ્યાઓ ક્રમશઃ 1 કરતાં નાની થતી જશે, (ઉપર લાલ અક્ષરમાં છે તેમ). જેથી કુલ સરવાળો મર્યાદિત( finite) રહેશે. પણ જો x ઋણ આંકડો હશે તો સરવાળો અતિ મોટો થશે. દા..ત. x =-2 હોય તો ζ(2) = 1 + 4 +8+ .. એમ અનંત સુધી જાય. પરંતુ ઝીટા વિધા પર બહુ કામ કરનાર રિઇમને ત્રીજી શક્યતા પણ તપાસી. એણે x સંકુલ આંકડો હોય. તો શું થાય તે પણ જોયું. આપણે ઉપર જોઈ લીધું છે કે સંકુલ એટલે complex number વાસ્તવિક સંખ્યા અને કાલ્પનિક સંખ્યાનું મિશ્રણ હોય છે. કાલ્પનિક સંખ્યા એટલે શું તે પણ આપણે ઉપર જોઈ લીધું છે. રામાનુજનની ફૉર્મ્યુલામાં પણ આ જ જોવા મળ્યું! હવે ઉપર લિંક આપી છે તે વીડિયો ( રામાનુજન) ફરી જોશો તો એમાં સંખ્યાઓની ગોઠવણીનો તર્ક પણ સમજાશે.

રામાનુજનની ધાર્મિક માન્યતાઓ

રામાનુજન માનતા કે એમને નામગિરિ દેવી સપનામાં આવીને સમીકરણો દેખાડી જાય છે અને પોતે તો માત્ર લખી નાખે છે. એ શૂન્યને નિર્ગુણ બ્રહ્મ સાથે સરખાવતા અને અનંત (infinity)ને અપાર શક્યતાઓ તરીકે જોતા હતા. મહાલનોબિસ કહે છે કે એમને Theory of Reality શોધવામાં રસ હતો અને કહેતા કે શૂન્ય અને અનંતનો ગુણાકાર કરવાથી બધી જ સાંત (અંતયુક્ત) સંખ્યાઓ મળી શકે. આ સિદ્ધાંત એ દૃશ્ય જગતને લાગુ પાડતા હતા, મહાલનોબિસ કહે છે કે અમે લાંબે સુધી ચાલતા ત્યારે રામાનુજન આવી વાતો કરતા, પરંતુ આવી વાતો એમને બહુ સમજાતી નહીં.

રામાનુજનનાં વડીલો નૃસિંહ ભગવાનનાં ઉપાસક હતાં. સપનામાં લોહી ટપકતું દેખાય તેને નૃસિંહની કૃપા માનતાં. રામાનુજન કહેતા કે એમને ઘણી વાર લોહી દેખાય છે. એક વાર સપનામાં લોહીનો પ્રવાહ વહેતો હતો. એમાંથી એક હાથ બહાર આવ્યો અને લખવા માંડ્યો. એ ગણિતનાં સમીકરણો હતાં. રામનુજનને એ યાદ રહી ગયાં અને સવારે એમણે એ લખી લીધાં. આ રામાનુજનનાં ઍલિપ્ટિકલ સમીકરણો છે, જેનો clip_image035એમણે કદી અભ્યાસ નહોતો કર્યો. જો કે હાર્ડી કહે છે કે એ કોઈ પણ તર્કબદ્ધ ગણિતશાસ્ત્રી વિચારે તેમ જ વિચારતા અને કલ્પનાશીલ હતા. સતત એમાં રચ્યાપચ્યા રહેતા એટલે નવા નવા અખતરા કરીને અદ્‍ભુત લાગે એવાં પરિણામો પર પહોંચતા હતા.

એમનાં પત્ની જાનકી કહે છે કે એમને જ્યોતિષનું પણ સારું જ્ઞાન હતું. એ લંડન ગયા તે પહેલાં ઘણાં સગાં સંબંધી મૂરત કઢાવવા આવતાં. એક વાર પાડોશમાં કોઈ છોકરો બીમાર પડ્યો અને મરવા જેવી હાલત હતી ત્યારે રામાનુજને એમને બીજે જવાની સલાહ આપી. એમણે કહ્યું કે સ્થળ અને કાળના સંયોગનો દોષ છે. માબાપ છોકરાને બીજે લઈ ગયાં અને એની તબીયત સુધરવા લાગી. હવે છોકરો ઘરે પાછા જવાની હઠ કરવા માંડ્યો. રામાનુજને કહ્યું કે હજી સમય નથી આવ્યો, પરંતુ છોકરાની હઠ સામે માબાપે નમતું આપ્યું અને ઘરે આવ્યાં. થોડી જ વારમાં એ બાળકનું મૃત્યુ થઈ ગયું!

પોતાની બીમારીનો એમને ખ્યાલ હતો એટલે સામાન્ય રીતે પત્ની સાથે બહુ સ્નેહથી બોલતા તેમાં જ એમણે પત્નીને સાવધ કરી દીધી કે પોતે ૩૫ની ઉંમર પાર નહીં કરે અને પત્નીએ હિંમત રાખવાની છે.

આવા ચુસ્ત પરંપરાવાદી રામાનુજન ગણિતના ક્ષેત્રમાં નિરાડંબરી ક્રાન્તિકારી હતા. આવી પ્રતિભા રોજરોજ ન પાકે. કુદરતે જાણે એમનું સર્જન જ ગણિત માટે કર્યું હતું. એમના થકી ભારતનું નામ ઊજળું છે.


[i]


શ્રી દીપક ધોળકિયાનાં સંપર્કસૂત્રો

ઈમેલઃ dipak.dholakia@gamil.com

બ્લૉગઃ મારી બારી

Facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail

4 comments for “મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓ: અંક (૧૦) : શ્રીનિવાસ રામાનુજન

  1. Kishor Thakr
    July 7, 2017 at 3:16 pm

    ઘણી બધી માહિતી મળી રામાનુજન વિષે , સાથે સાથે લેખક ગણિતનાં વર્ગ ખંડમાં પણ લઈ ગયા.
    થૉડી સ્પ્ષ્ટતા પાયથાગોરસના પ્રમેય વિષે‌ – પાયથાગોરસનો પ્રમેય કાટકોણ ત્રિકોણને જ લાગુ પડે. કાટકોણ ત્રિકોણ એટલે એવો ત્રિકોણ કે જેમાં એક ખૂણો 90અંશનો હોય. આ 90 અંશના ખૂણાની સામીની બાજુ જે ત્રણ બાજુઓમાં સૌથી મોટી હોય છેઅને તેને કર્ણ કહેવાય છે. આથી પાયથાગોરસનો પ્રમેય આ રીતે બને છે “કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ તે ત્રિકોણની બાકીની બે બજુઓના વર્ગોના સરવાળા બરાબર થાય છે.” પ્રતિપ પ્રમેય તરીકે કહીએ તો” જે ત્રિકોણમાં સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ ત્રિકોણની બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા બરાબર થાય તે ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ હોય છે. એટલે કે તેનો એક ખૂણો 90 નો હોય છે. “બાકી લેખકે ખૂબ મહેનત કરી છે..

  2. Dipak Dholakia
    July 7, 2017 at 11:13 pm

    કિશોરભાઈ. મારી કચાશ તરફ ધ્યાન દોરવા બદલ આભાર. લખતી વખતે કાટખૂણો જ ધ્યાનમાં હતો. પણ લખવામાં એ ન ઊતર્યો. રામાનુજન વિશે વાંચતાં હું પોતે પણ વર્ગખંડમાં ગયો કારણ કે આટલું ઊંડાણથી તો મેં પણ જાણ્યું નહોતું. હજી આખી દુનિયાના વિદ્વાનો પણ રામાનુજનને સમજવા માટે વર્ગખંડમાં જાય જ છે. તે સિવાય આપણે રામાનુજનને જરા પણ સમજી શકીએ તેમ નથી. માત્ર એમની પૂજા કરશું અને એમના નામે ‘મેરા ભારત મહાન’ ગાતા રહેશું.

  3. July 18, 2017 at 7:56 pm

    Great, Excellent and most informative article. Every body must read this. It is a matter of research as to how Ramajunam was theist who believed in astrology. He might had been brought up like that. But it is fact that eveything is pre-decided but no body can foresee it.
    The world (Cosmos) is quite different than what we see it.
    Thank you Dipakbhai

    • Dipak Dholakia
      July 18, 2017 at 11:30 pm

      Thank you Shirishbhai, To be honest, I was expecting a comment from you. Good readers like you are an asset for a writer. I am lucky that way. I have got readers who have judged my performance in the most objective manner and kept me alert. When I write something I do visualise some faces, and one of the faces is yours!

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.