મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓ : અંક ૯: જ્યૂલ ઓંર્રી પોયેંકાર્રે

દીપક ધોળકિયા

ગણિતશાસ્ત્રીઓના પરિચયની આ શ્રેણીમાં આપણે હવે વીસમી સદીના દરવાજે પહોંચવાના છીએ. આ દરવાજો પાર કરાવવા માટે આજે આપણી સાથે છે ફ્રાન્સના મહાન ગણિતશાસ્ત્રી Jules Henry Poincare/ જ્યૂલ ઓંર્રી પોયેંકાર્રે ( ફ્રેન્ચ નામ છે. આપણે નામના અંતે care જોઈનેકેરઉચ્ચાર કરીએ તો ખોટું ગણાય).

ગણિતનું એક પણ ક્ષેત્ર એવું નથી, જેમાં પોયેંકાર્રેએ કંઈ પ્રદાન ન કર્યું હોય. સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ ગણિતશાસ્ત્ર, ગાણિતિક ખગોળશાસ્ત્ર અને ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં એમનો ફાળો બહુ મોટો રહ્યો. પોયેંકાર્રે ચિંતક હતા અને ગણિતને એ ફિલોસોફરની નજરે જોતા.

એમના પિતરાઈ ભાઈ રેમોં પોયેંકાર્રે ૧૯૧૩માં ફ્રાન્સના રાષ્ટ્રપતિ બન્યા. પરંતુ દુનિયામાં ગણિતશાસ્ત્રી પોયેંકાર્રેની પ્રતિષ્ઠા હંમેશાં ઊંચી જ રહી. બર્ટ્રાન્ડ રસેલને કોઈએ પૂછ્યું કે આજના સમયમાં ફ્રાન્સે કયો મહાન માણસ પેદા કર્યો છે. રસેલે તરત જવાબ આપ્યો, ‘પોયેંકાર્રે”. સામી વ્યક્તિએ પૂછ્યું કે તમે રૅમોંની વાત કરો છો? રસેલે કહ્યું, “ના હું એના કઝિન ઓંર્રી વિશે વિચારતો હતો…”

બાળપણ

પોયેંકાર્રેનો જન્મ ૧૮૫૪માં સાધનસંપન્ન પરિવારમાં થયો. એમના પિતા મોટા પ્રતિષ્ઠિત ડૉક્ટર હતા. પાંચ વર્ષની ઉંમરે જ ઓંર્રીને ડિપ્થેરિયા થયો અને નવ મહિના સુધી તો ગળું લકવાગ્રસ્ત રહ્યું અને બાળકને પથારીવશ રહેવું પડ્યું. આને કારણે દોડવાભાગવાની રમતો હંમેશ માટે બંધ થઈ ગઈ. પણ બાળકનું ધ્યાન .મગજની રમતો તરફ વળી ગયું. માતાના પ્રયાસથી એમની ગ્રહણ શક્તિનો બહુ વિકાસ થયો પરંતુ શારીરિક સંચાલન (motor function) નબળું રહ્યું. એમનામાં બન્ને હાથે લખવાની શક્તિ વિકસી અને ડાબે હાથે લખે કે જમણે હાથે, અક્ષર પણ એકસરખા રહેતા – ખરાબ!

નજર નબળી પડી ગઈ હતી એટલે વર્ગમાં બોર્ડ પર લખેલું દેખાય જ નહીં. એમને બદલામાં યાદશક્તિ બહુ સારી મળી હતી. એટલે શિક્ષક જે બોલે તે સાંભળીને યાદ રાખી લે. એક વાર કોઈ પુસ્તક વાંચી લે તે પછી વર્ષો સુધી પાના નંબર અને લીટીઓ સહિત બોલી શકતા.

બાળપણમાં એમને ગણિતમાં નહીં પણ પ્રકૃતિમાં બહુ રસ હતો. પક્ષીઓ માટે એમને પ્રેમ હતો અને એક વાર હાથમાં એરગન લઈને રમતા હતા ત્યારે એક પક્ષી એમની ગોળીથી વિંધાઈને પડ્યું તે પછી પોયેંકાર્રેએ કદી શિકાર ન કર્યો. નવ વર્ષની ઉંમરે એમણે ગણિતમાં ચમક દેખાડી અને એમના શિક્ષકે કહ્યું કે આ છોકરાએ લખ્યું છે તે એક ‘માસ્ટરપીસ’ છે. પરંતુ એમાંથી પોયેંકાર્રેની જે સર્જકતા દેખાઈ તેનાથી શિક્ષકને ચિંતા પણ થઈ કે પરીક્ષામાં તો આવું ચાલશે નહીં. એટલે શિક્ષકે છોકરાને થોડા ચીલાચાલુ થવાની પણ સલાહ આપી!

પરંતુ ગણિતે એમને ઝકડ્યા તે ચૌદ વર્ષ પૂરાં થયાં ત્યારે. પછી તો આખી જિંદગી ગણિત અને પોયેંકાર્રે કદી વેગળાં ન થયાં. એમની પકડ એટલી હતી કે, એમણે પોતાના જેટલા સંશોધનપત્રો લખ્યા છે તે મોટા ભાગે સળંગ, કશું સુધાર્યા વિના સીધા જ લખ્યા છે.

૧૮૭૧માં ૧૭ વર્ષની ઉંમરે હાયર સેકંડરીમાં સાહિત્ય અને વિજ્ઞાન સાથે પાસ તો થયા પણ ગણિતમાં નાપાસ થતાં જરાકમાં બચ્યા. પરંતુ તે પછી વનસંવર્ધન સ્કૂલમાં પ્રવેશ મેળવવા માટે એમણે જબ્બર તૈયારી કરી અને ગણિતમાં પ્રથમ રહ્યા. તે પછી પોલિટેકનિક સ્કૂલમાં દાખલ થયા ત્યારે વાત ફેલાઈ ગઈ હતી કે જે છોકરો આવે છે તે જીનિયસ છે. એટલે એના ઇંટરવ્યૂ માટે એક કલાક હતો તેમાંથી સવાલ તૈયાર કરવા માટે જ એક પ્રોફેસરે પોણો કલાક લઈ લીધો કે અઘરામાં અઘરો સવાલ પૂછવો. પણ પોયેંકાર્રે માટે તો ૧૫ મિનિટ પણ ઘણી થઈ પડી. એમને પરીક્ષકે સૌથી ઊંચો ગ્રેડ આપ્યો.

પરંતુ ૧૮૭૫માં એ પાસ થઈને બહાર નીકળ્યા તે પછી એ ખાણ વિજ્ઞાન સ્કૂલમાં દાખલ થયા. એમને એન્જિનિયર બનવું હતું. અહીં એ પોતાનો અભ્યાસ કરતા રહ્યા પણ ખાલી સમયમાં ગણિતમાં ડૂબી જતા. એમણે પોતાનું ડિફરેન્શિયલ ઇક્વેશનનું કામ આ જ રીતે કર્યું. અહીં એમણે એક અભ્યાસપત્ર રજુ કર્યો તે વાંચીને પરીક્ષકે કહ્યું કે નજર નાખતાં ખબર પડી જાય છે કે એક અસાધારણ પ્રતિભાનું કામ છે પણ એને બરાબર સમજવા માટે એમાં ઘણા સુધારા અને ઉમેરા કરવા પડે એમ છે. પોયેંકાર્રે તો અંતઃસ્ફુરણા પર કામ કરતા હતા એટલે એક વાર શિખરે પહોંચીને પાછું વાળીને ન જોતા કે ક્યાં પગથિયાં ફલાંગીને એ ઉપર પહોંચ્યા.

એકથી વધારે અવકાશી પિંડોની ગતિ

૧૮૮૯માં સ્વીડનના રાજાએ આપણી સૂર્યમાળા કેટલી સ્થિર રહી શકશે એ સવાલ પૂછ્યો અને એનો જવાબ આપનારને ઇનામ આપવાની જાહેરાત કરી. આ સવાલનો ઉકેલ મેળવવા માટે ગણિતશાસ્ત્રીઓ ન્યૂટનના સમયથી લાગેલા છે. બે પિંડો પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ અનુભવે અને એ રીતે બન્ને એકબીજાની ગતિને અસર કરે. પરંતુ જો આવા ત્રણ પિંડો હોય તો? અને માત્ર ત્રણ જ શા માટે? આવા એકબીજાની ગતિ પર અસર પાડતા ઘણા પિંડ પણ હોઈ શકે. આ સવાલ આજે n-body problem તરીકે ઓળખાય છે. આ બધાની ગતિ અને પ્રભાવ નક્કી કરવા માટે કોઈ એક ફૉર્મ્યુલા હોઈ શકે? જો કે એમાં એક ભૂલ પણ રહી ગઈ હતી. અને પોયેંકાર્રે એનો સાચો જવાબ ન આપી શક્યા આમ છતાં, એમને જ ઇનામ આપવામાં આવ્યું કારણ કે એમણે જે કામ કર્યું હતું તે ટૉપોલૉજીમાં (આકાર અને સ્પેસના શાસ્ત્રમાં) બહુ કામ આવે તેમ હતું.

n-body problemમાં મોટી સમસ્યા એ છે કે કોઈ પણ અવકાશી પિંડની દર ક્ષણની ગતિ ગણવાની છે. દાખલા તરીકે સૂર્યની આસપાસ ફરતી પૃથ્વી અને પૃથ્વીની આસપાસ ફરતો ચંદ્ર. પરંતુ ગ્રહ શરૂઆતમાં બન્યો (અને આજે પણ) ત્યારે બહારની સપાટી ભલે ઠંડી થઈને ગોળ બની ગઈ હોય પરંતુ હજી અંદર એ પ્રવાહી રૂપમાં જ હોય છે. ગ્રહ જ્યારે પરિક્રમા કરતો હોય ત્યારે આ પ્રવાહી અંદર અનિયમિત ગતિએ આમથી તેમ ફરે છે. આની અસર પણ ગ્રહની ગતિ પર પડે છે. આમ આ પ્રશ્ન કઠિન છે અને સૂર્યમાળાની સ્થિરતા વિશે પાકે પાયે કંઈ કહી ન શકાય. આથી આ પ્રશ્નનો જવાબ ન મળવા છતાં પોયેંકાર્રેને ઇનામ અપાયું.

સાપેક્ષવાદ, આઇન્સ્ટાઇન અને પોયેંકાર્રે

આપણે જાણીએ છીએ કે આઇન્સ્ટાઇન સાપેક્ષવાદના સ્થાપક હતા. પરંતુ આઇન્સ્ટાઇને જૂન ૧૯૦૫માં એમની સ્પેશિયલ થિઅરી ઑફ રિલેટિવિટીનો લેખ લખ્યો તેનાથી થોડા વખત પહેલાં પોયેંકાર્રેનો લેખ પ્રકાશિત થયો હતો. પોયેંકાર્રે અને આઇન્સ્ટાઇન, બન્ને લોરેન્ત્ઝનાં સમીકરણોનો જ ઉપયોગ કરે છે. પરંતુ એ વખતે પ્રકાશની ગતિનું માધ્યમ શું, એ વિશે એક ધારણા પ્રચલિત હતી. એ માધ્યમને ‘ઈથર’ નામ આપવામાં આવ્યું હતું. લોરેન્ત્ઝ્નાં સમીકરણ આ ધારણા પર જ બન્યાં હતાં અને પોયેંકાર્રેએ પણ એનો જ ઉપયોગ કર્યો. જો કે એમણે પણ કહ્યું કે સ્પેસ અને ટાઇમ અવલોકનકારની સાપેક્ષ છે. બીજી બાજુ આઇન્સ્ટાઇને પણ સ્પેસ અને ટાઇમ સાપેક્ષ છે એવું જ સ્થાપિત કર્યું અને તે સાથે જ ઈથરનો ખ્યાલ રદ કર્યો. એમણે કહ્યું કે પ્રકાશ કોઈ જાતના માધ્યમ વિના શૂન્યાવકાશમાં પણ નિરપેક્ષ ગતિએ જ પ્રવાસ કરે છે. ઈથર હટી જતાં બ્રહ્માંડનું સરળ મૉડેલ બનાવવાનું શક્ય બન્યું. પ્રકાશની ગતિને અચળ બતાવીને આઇન્સ્ટાઇને લૉરેન્ત્ઝનાં સમીકરણો અને મૅક્સવેલનાં ઇલેક્ટ્રો-મૅગ્નેટિક સમીકરણોને ભૌતિક જગતમાં અર્થપૂર્ણ બનાવ્યાં.

સાપેક્ષવાદનો યશ ખરેખર કોને આપવો તેનો વિવાદ હજી પૂરો નથી થયો. કેટલાક માને છે કે એ વખતે જર્મનીએ પોતાની રાજકીય વગ વાપરીને પોયેંકાર્રેના પેપરને બહુ પ્રસિદ્ધિ ન મળવા દીધી. આવું કહેનારા એવો પણ આક્ષેપ કરે છે કે આઇન્સ્ટાઇને પોયેંકાર્રેનો લેખ પ્રકાશન પહેલાં જ વાંચી લીધો હતો. જો કે બીજા કેટલાક વિદ્વાનો કહે છે કે વિજ્ઞાનમાં કોઈ એક વ્યક્તિ કંઈ કામ કરે તેનો પાયો એનાથી પહેલાંના વૈજ્ઞાનિકોના કામમાં હોય જ છે. એમનું માનવું છે કે સાપેક્ષવાદની સ્થાપનાનો યશ લોરેન્ત્ઝ, પોયેંકાર્રે અને આઇન્સ્ટાઇન, ત્રણેયને મળવો જોઈએ.

એ પણ નોંધવું જોઈએ કે પોયેંકાર્રે તે પછી સાત વર્ષમાં જ મૃત્યુ પામ્યા અને આઇન્સ્ટાઇને ૧૯૧૫માં જનરલ રિલેટિવિટીનો સિદ્ધાંત પણ રજૂ કર્યો અને એમના સ્પેસ-ટાઇમના ખ્યાલે તો ભૌતિકશાસ્ત્રને જ બદલી નાખ્યું.

પોયેંકાર્રે કન્જેક્ચરની ૯૮ વર્ષે સાબીતી!

ઓંર્રી પોયેંકાર્રેએ ૧૯૦૪માં એક વિચાર રજૂ કર્યો જેનું ટૉપોલૉજીમાં બહુ મહત્ત્વ છે. એને પોયેંકાર્રે ક્ન્જેક્ચર (પોયેંકાર્રેનું અનુમાન) કહે છે. એમણે એની સાબીતી નહોતી આપી, પરંતુ વ્યાવહારિક રીતે એનો ઉપયોગ ટૉપોલૉજીમાં થતો રહ્યો છે. એની સાબીતી મળતાં સો વર્ષ નીકળી ગયાં. છેક ૨૦૦૨માં રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી ગ્રેગરી પેરેલ્માને પોયેંકાર્રેના કન્જેક્ચરને સાચો ઠરાવ્યો. ( મહિનાની ૧૩મી તારીખે એમને ૫૧ વર્ષ પૂરાં થાય છે!)

આ પેરેલ્માન પણ એવા ગજબના માણસ છે કે એમણે ૨૦૦૨માં પોતાની સાબીતી સીધી જ ઇંટરનેટ પર મૂકી. ટૉપોલૉજીના નિષ્ણાતો અને ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં સનસનાટી ફેલાઈ ગઈ. એમને અમેરિકા બોલાવવામાં આવ્યા, જ્યાં એમણે MIT અને બીજી યુનિવર્સિટીઓમાં લેક્ચરો પણ આપ્યાં, તે પછી પાછા રશિયા ચાલ્યા ગયા અને બધા સાથે સંપર્ક કાપી નાખ્યો. એ અપરિણીત છે અને માતા સાથે રહે છે. મે ૨૦૦૬માં પેરેલ્માનને ગણિતમાં નોબેલની સમકક્ષ ગણાતો ફીલ્ડ ચંદ્રક આપવામાં આવ્યો તો એમણે એ સ્વીકારવાનો ઇનકાર કર્યો કે ઇનામ મારા માટે તદ્દન નકામું છે. સાબીતી સાચી હોય તો સૌ સમજી જશે. એના કરતાં વધારે કદર શું કરી શકાય? મને પૈસા કે નામની જરૂર નથી અને હું પ્રાણીઘરનું પ્રાણી નથી કે મને સૌ પ્રદર્શનમાં મૂકે. ૨૦૧૦માં ક્લે ઇન્સ્ટીટ્યૂટે પોયેંકાર્રે કન્જેક્ચરની સાબીતી માટે બીજું દસ લાખ ડૉલરનું ઇનામ આપવાની જાહેરાત કરી, પણ પેરેલ્માને ફરી ના પાડી. પોયેંકાર્રે કન્જેક્ચરનો ખુલાસો મૂળ તો હેમિલ્ટને આપ્યો હતો અને પેરેલ્માને એમાં રહી ગયેલી કચાશો દૂર કરી હતી. એમણે કહ્યું કે ક્લે ઇન્સ્ટીટ્યુટે હેમિલ્ટનને અન્યાય કર્યો છે એટલે હું ઇનામ નહીં લઉં! એમના એક મિત્રના કહેવા પ્રમાણે એમણે હવે ગણિત છોડી દ્દીધું છે. એમનો આક્ષેપ છે કે ગણિતના ક્ષેત્રમાં અપ્રામાણિક માણસો છે અને જે સારા માણસો છે તે આ બધું મૂંગે મોઢે સહન કરે છે!

પેરેલ્માને શું કર્યું?

આ વિષય બહુ અઘરો છે, તો પણ આપણે એમાં ચાંચ ડુબાડવાની થોડી મહેનત કરીએ. આ ટૉપોલૉજીનો વિષય છે એટલે કે એમાં આકારોની અને એમનાં પરિમાણોની વાત આવે છે.ટૉપોલૉજીમાં આકારોને ‘મેનિફોલ્ડ’ કહે છે. એનાં જુદાં જુદાં પરિમાણો હોય છે અને તે રીતે એને 2-manifold, 3-manifold એવાં નામ અપાય છે.

આપણે ગૅલ્વા વિશે અહીં અથવા અહીં વાંચ્યું.. એમાં અંતમાં ‘સેટ, ગ્રુપ અને ફીલ્ડ’ વિભાગ છે, જેમાં રેલના પાટાનો ફોટો અને એના વિશેની ચર્ચા છે, તે જોઈ લેશો તો આગળ વધવાનું સહેલું થઈ જશે. એમાં બધાં બિંદુઓ (સેટના બધા ઘટકો)ને એક સ્થળે કેન્દ્રિત કરવાની વાત છે. વાસ્તવમાં ત્રિપરિમાણી દૃશ્ય છે તે ફોટામાં દ્વિપરિમાણી બની જાય છે તે આપણે જોયું. બધા પદાર્થને આકાર હોય છે અને એનાં પરિમાણ પણ હોય છે. દાખલા તરીકે, એક બિંદુ શૂન્ય-પરિમાણી છે, બે બિંદુઓને જોડો એટલે રેખા મળે જે એક-પરિમાણી છે. હવે બે સમાંતર રેખાઓને જોડો એટલે એક દ્વિપરિમાણી ચતુષ્કોણ મળે. આવા બે સમાંતર ચતુષ્કોણોને જોડો તો ત્રિપરિમાણી ઘન આકાર (ક્યૂબ) મળે. આવા બે સમાંતર ક્યૂબને જોડો તો ચતુષ્પરિમાણી ટેસરૅક્ટ (એટલે કે હાઇપર ક્યૂબ) મળે.
બાજુમાં આપેલી આકૃતિ જુઓ. પણ, કહેવાની જરૂર નથી કે અહીં તો તમારા ટીવી સ્ક્રીન પર તો બધું બે પરિમાણમાં જ છે! આમ બધા ઘટક ભેગા થઈ ગયા છે!

માત્ર આવા આકાર જ નહીં, દાખલા તરીકે દડો લઈએ તો એ પણ આકાર જ છે. એ હાથમાં લઈ શકાય એવો ઘન પદાર્થ તો છે પણ એની સપાટી દ્વિપરિમાણી છે. સપાટીને સ્ફીઅર (spehere) કહે છે અને દડાની સપાટી 2-sphere કે દ્વિપરિમાણી છે. ટૉપોlલૉજીમાં બધું સ્ફીઅરમાં ફેરવી નાખવાનું છે. એટલે એના બધા ઘટક એકબીજા સાથે સંકળાયેલા હોવા જોઈએ. .ગોળામાં બધા ઘટક એકબીજા સાથે સંકળાયેલા હોય છે એટલે એનો આકાર બદલી નાખીએ તો પણ એમાંથી બધા ઘટક જોડાયેલા હોય તેવો આકાર મળે.

પરંતુ હવે આપણે જાણીએ છીએ કે ટૉપોલૉજી એ આકારોનું શાસ્ત્ર છે. એટલે એ આકારો પરનાં બિંદુઓનો સંબંધ પણ એમાં જ આવી જાય. આકારો બે, ત્રણ કે ચાર અને તેથીય વધુ પરિમાણોમાં હોઈ શકે. એ વાત જુદી કે આપણે સામાન્ય માણસો ત્રણથી વધુ પરિમાણોની કલ્પના નથી કરી શકતા. આકારની ટૉપોલૉજીની સમજણ ( કે વ્યાખ્યા) રસપ્રદ છે.

એક દોરીથી વર્તુળ બનાવો કે ચોરસ, એને માટે બન્ને એક જ છે. અહીં માત્ર રેખાથી બનાવેલી આકૃતિઓ દેખાડી છે. બે પરિમાણના આ ચિત્રના પહેલા ત્રણ આકાર ટૉપોલૉજીની દૃષ્ટિએ એક જ ચિત્ર છે. પરંતુ ચોથો આકાર જુદો ગણાશે. એ આકાર અને અંગ્રેજી અંક 8 એક જ વાત છે.

બે પરિમાણની જેમ ત્રણ પરિમાણ ( ૩- dimension અથવા 3-manifold) માં ઘન અને ગોળો એક જ ચીજ છે. એક રિંગમાં વચ્ચે છેદ હોય છે. અંગ્રેજીના 8માં પણ બે રિંગ જોડાયેલી છે. એટલે એ બન્ને સ્ફીઅર નથી. આમ સ્ફીઅર સિવાયના બીજા આકારો (space)માં એ ગુણધર્મ નથી કે એના ઘટકો એકબીજામાં ભળી જાય.. આ વાત બરાબર સમજવા માટે એક હૂ્ક લગાડેલો દડો લો અને હૂકમાંથી બાંધીને દડાની ફરતે દોરી વિંટાળો. પછી એને ધીમે ધીમે નીચે સરકાવી દો અને દડાથી અલગ કરી દો. હવે તમારા હાથમાં દડાના આકારનો ગાળિયો છે. એના બન્ને છેડાને ખેંચશો તો છેવટે હૂક પર એની ગાંઠ વળી જશે. સમજી લો કે આખો દડો એ ગાંઠમાં સમાઈ ગયો! રિંગમાં એવું નહીં થઈ શકે. એમાં વચ્ચેનો છેદ આડે આવશે. આ આકૃતિથી એ વાત વધારે સ્પષ્ટ થશે.

હવે આપણે આપણી મનગમતી વાનગીઓને ટૉપોલૉજીની રીતે જોઈએ.

દુધના માવામાંથી વિવિધ આકારના પેંડા બને તે તો આપણે જાણીએ છીએ. માનો કે લાડુના આકારના પેંડા પર ચોકલેટ ક્રીમનું વર્તુળ દોરો. એને નાનું કરતા જાઓ તો છેવટ એક બિંદુ રૂપે ક્રીમ તમારા હાથમાં આવશે. જો આવી આકૃતિ દોરી શકો તો એ ૧- મૅનિફોલ્ડ છે.


આથી ઉલટું, મેદુવડા પર આવું નથી કરી શકાતું. એમાં આપણે વચ્ચે કાણું પાડીએ છીએ, એટલે ટૉપોલૉજી તેને જુદો ‘મૅનિફોલ્ડ’ માનશે.

પેરેલ્માને પોયેંકાર્રેના કન્જેક્ચરની સાબિતી આપી.

ત્રિપરિમાણી સ્પેસની અંદર જ 2-sphere હોય છે! તો ચતુષ્પરિમાણી સ્પેસની અંદર ત્રિપરિમાણી પદાર્થ (3-sphere) હોય તેની સાથે પણ એવું થઈ શકે છે? આકારનાં પરિમાણ તો ઘણાં હોઈ શકે. અષ્ટ-પરિમાણી સ્પેસમાં 7-sphere, સપ્તપરિમાણી સ્પેસમાં 6-sphere વગેરે. આ બધાંનો ઉકેલ તો ૧૯૬૦માં આવી ગયો હતો, અને ૧૯૮૨માં પંચપરિમાણી સ્પેસમાં 4-sphereની સમસ્યાનો પણ જવાબ મળી ગયો હતો. હેમિલ્ટને એનો જવાબ શોધી કાઢ્યો હતો. હવે પેરેલ્માને એમાં સુધારા સાથે એને પરિપૂર્ણ રૂપ આપ્યું છે. આથી આ ઉકેલને હેમિલ્ટનપેરેલ્માન ઉકેલ કહે છે.પેરેલ્માને કઈ રીતે કર્યું, એ રસપ્રદ છે પણ વિસ્તાર થઈ જવાનો ડર છે એટલે છોડી દઉં છું.

સામાન્ય માણસ માટે શોધનો અર્થ શો?

ગણિતમાં થયેલી શોધોની સામાન્ય માણસ પર કશી સીધી અસર નથી થતી. આવી શોધને સમજવામાં જ ઘણી વાર વર્ષો લાગી જતાં હોય છે.તે પછી એને લગતો સિદ્ધાંત સમજી શકાય એવી ભાષામાં ઘડાય છે. પોયેંકાર્રેનો કન્જેક્ચર સાચો છે કે નહીં તે નક્કી થતાં સો વર્ષ થયાં! પરંતુ એ સિદ્ધાંત ઘડાઈ જાય તે પછી એ વિજ્ઞાનમાં પ્રવેશ કરે છે અને ત્યાં કામયાબ થયા પછી એ એટલો સામાન્ય બની જાય છે કે એના આધારે ટેકનૉલોજી વિકસે છે. એટલે આજે આપણા જેવા સામાન્ય લોકોને સવાલ થાય કે પોયંકાર્રેએ કર્યું તેનું અને પેરેલ્માને એને સાચું સાબીત કરી દીધું તેનું આપણને કામ શું? આનો જવાબ એક વનસ્પતિશાસ્ત્રીના અનુભવમાંથી મળે છે.એને અચાનક નવી જાતની જૈવિક પ્રક્રિયા હાથ જોવા મળી. તો રોમાંચિત થઈ ગયો અને હવે આગળ શું થઈ શકે તે કહેવા લાગ્યો. એના એક વ્યવહારિયા મિત્રને કશું સમજાયું નહીં. એણે પૂછ્યું, “પણ કામનું શું?” વૈજ્ઞાનિક અકળાયો અને એણે સામો સવાલ કર્યોઃએમ તો તમે પણ શું કામના છો?”

પોયેંકાર્રેની ફિલસુફી

પોયેંકાર્રે ગણિતના ફિલોસોફર હતા. એ માનતા કે તર્ક સાબીત કરી શકે, નવું શોધી શકે. એમને અંતઃસ્ફુરણા પર બહુ વિશ્વાસ હતો. ગણિતની આગેકૂચમાં તર્ક કરતાં અંતઃસ્ફુરણાએ વધારે પ્રબળ ભૂમિકા ભજવી છે એમ એ માનતા અને પોતાની સિદ્ધિઓ માટે એમણે દાખલા આપ્યા છે કે એમને અમુક વિચાર કેમ મગજમાં ઝબક્યો – અને તે પછી એમણે માત્ર કાગળ પર ઉતારવાનું રહેતું. એમનાં અંતિમ વર્ષોમાં ગણિતની ટેકનિકલ બાજુ છોડીને સર્વસાધારણને સ્પર્શે એવું લખતા થઈ ગયા હતા. એમનાં પુસ્તકોની સસ્તી આવૃત્તિઓ છોકરા-છોકરીઓ હરતાંફરતાં વાંચતાં રહેતાં, તો બીજી બાજુ એ જ પુસ્તકની મુખ્ય આવૃત્તિ મોટા મોટા વિદ્વાનોમાં ચર્ચાનો વિષય બની રહેતી.

ખરેખર તો એમનો સર્જનશીલ સમય ૧૮૭૮થી એટલે કે ૨૪ વર્ષની ઉંમરથી શરૂ થયો અને ૧૯૧૨માં એમનું મૃત્યુ થયું ત્યાં સુધી ચાલુ રહ્યો. આ દરમિયાન એમણે જે કંઈ પ્રદાન કર્યું તે બહુ મૌલિક અને મહત્ત્વનું રહ્યું છે.

0-0-0

શ્રી દીપક ધોળકિયાનાં સંપર્કસૂત્રો

ઈમેલઃ dipak.dholakia@gamil.com

બ્લૉગઃ મારી બારી

Facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail

8 comments for “મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓ : અંક ૯: જ્યૂલ ઓંર્રી પોયેંકાર્રે

  1. Rajnikant Vyas
    June 5, 2017 at 12:00 pm

    દીપકભાઇ,

    આ શ્રેણીના બધાજ લેખો ખૂબજ માહિતિપૂર્ણ અને સાથેસાથે સરળ શૈલીમાં વાચકો સમક્શ મૂકવા બદલ આપને અભિનંદન અને આપનો આભાર. અટપટા ગણિત જેવા અઘરા વિષયને રસપૂર્ણ બનાવવાનો આપનો પ્રયાસ પ્રસંશનીય છે.

    • Dipak Dholakia
      June 6, 2017 at 2:18 am

      રજનીભાઈ, તમારા હૃદયસ્પર્શી પ્રતિભાવથી આનંદ થયો. આભાર.

  2. June 5, 2017 at 6:07 pm

    Very very interesting.

    • Dipak Dholakia
      June 6, 2017 at 2:20 am

      દેવિકાબેન, તમારા જેવાં સાહિત્ય અને સંસ્કૃતનાં વિદ્વાન લેખને રસપ્રદ માને તેને હું મોટું સર્ટિફેકેટ માનું છું. આભાર.

  3. June 6, 2017 at 3:07 am

    દીપકભાઈએ બહુ જ સરળ શબ્દોમાં ટૉપૉલૉજી સમજાવી છે. ઘણી મજા પડી વાંચવાની.

    • Dipak Dholakia
      June 6, 2017 at 1:50 pm

      ચિરાગ, કોશિશ તો કરું છું કે બધું સરળ ભાષામાં મૂકીએ શકાય કે જેથી કંઈક પ્રાથિમિક ખ્યાલ આવે. આભાર.

  4. M. Gada
    June 6, 2017 at 10:26 am

    Did not know about this genius until now. Thanks for such in depth info.

    The notion of our universe possibly being curved in fourth dimension may have come after such mathematical ideas. How else someone trapped in a three demensional world would even dream of forth dimension?

    Very interesting.

  5. Purvi
    June 10, 2017 at 9:00 am

    khub rasdayak

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *