દીપક ધોળકિયા

imageસમય નથી મળતો. આ બહાનું આપણે ઘણી વાર સાંભળ્યું છે. પરંતુ કુદરતે જ સમય નિર્ધારિત કરી દીધો હોય ત્યારે શું થાય? આજે અને આવતા મહિને આપણે એવા બે ગણિતશાસ્ત્રીઓને મળીશું કે જેમનો સમય એમના હાથમાં નહોતો અને તેમ છતાં એમણે ગણિતના ઇતિહાસમાં અમર સ્થાન પ્રાપ્ત કરી લીધું. આજે આપણે જેનો પરિચય મેળવીશું તે છે. નીલ્સ હેનરિક આબેલ. જન્મઃ , ઑગસ્ટ ૧૮૦૨. મૃત્યુઃ , ઍપ્રિલ ૧૮૨૯.

નાની વયે આ દુનિયા છોડી જવા છતાં આબેલ, ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી Charles Hermite (ફ્રેન્ચ ઉચ્ચાર શાર્લ અર્મિત)ના શબ્દોમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓ પાંચસો વર્ષ સુધી વ્યસ્ત રહેએટલું કામ છોડી ગયા છે.

દુઃખમય જીવન

નૉર્વેના એક ગામડામાં આબેલના પિતા ચર્ચમાં પાદરી હતા. ધર્મભીરુ અને ચારિત્ર્યવાન, બીજી બાજુ માતા ઍની મારિઈ સાઇમનસન રૂપ રૂપનો અંબાર, ભમરા એની પાછળ ભમતા અને એમાં એને આનંદ પણ મળતો. આબેલે માતાનો સોહામણો દેખાવ વારસામાં મેળવ્યો; એને પણ માતાની જેમ જીવનમાં સુખની ચાહ હતી પણ પિતા પાસેથી મળેલો પરિશ્રમનો ગુણ એ સુખ માટે પૂરતો નહોતો. બાળપણથી વળગેલી ગરીબાઈએ જીવનના અંત સુધી એનો કેડો ન મેલ્યો. નીલ્સ અને એનાં છ ભાઈ બહેનો માટે બાળપણ કપરું હતું.

૧૮૦૧થી નૉર્વે ઇંગ્લૅંડ અને સ્વીડન સાથે લડાઈઓ લડતું રહ્યું. બે લડાઈઓ વચ્ચે દેશમાં સખત દુકાળ પડ્યો. પરંતુ કુટુંબ મનમોજીલું હતું એટલે ઘરમાં હાસ્ય ઓસર્યું નહોતું. બધાં બાળકો ફાયરપ્લેસ પાસે બેસીને એકબીજાની છેડછાડ કરતાં ત્યારે નાના નીલ્સની એક નજર તો ગણિતના પુસ્તક પર જ રહેતી.

નીલ્સને ગણિતમાં પોતાની છૂપી પ્રતિભાને પિછાણવાની તક બહુ બાળપણમાં જ મળી ગઈ. થયું એવું કે ગણિતનો શિક્ષક બહુ ક્રૂર હતો અને સોટી વાગે ચમચમ, વિદ્યા આવે રમઝમ’માં માનનારો હતો. એણે એક છોકરાને એટલો માર્યો કે એ મરી ગયો. સ્કૂલ બોર્ડે એ શિક્ષકને કાઢી મૂક્યો અને નવા શિક્ષકની નીમણૂક કરી. બર્ન્ટ માઇકલ હોલ્મ્બો ( Bernt Michael Holmboe) સારા શિક્ષક હતા. એમણે ૧૫ વર્ષના નીલ્સ આબેલની પ્રતિભાને પારખી લીધી. આબેલ કરતાં એ માત્ર સાત વર્ષ મોટા હતા. હોલ્મ્બોના પ્રયાસોથી જ આબેલે ગાઉસે જે કંઈ કર્યું તે બધું આત્મસાત કરી લીધું. બન્ને ગુરુ-શિષ્ય મટીને મિત્રો બની ગયા અને આબેલના મૃત્યુ પછી ૧૮૩૯માં એમના એક પુસ્તકનું હોલ્મ્બોએ જ સંપાદન કર્યું.

૧૮૨૦માં આબેલની ઉંમર ૧૮ની હતી ત્યારે એમના પિતાનું અવસાન થઈ ગયું. હવે ભાઈબહેનોની જવાબદારી એ્મના પર આવી પડી. જો કે, આબેલનું જીવન એવું તકલીફોમાં વીત્યું હતું કે એ્મને એ બહુ મોટું કામ ન લાગ્યું. એણે પ્રાઇવેટ ટ્યૂશનો આપવાનું શરૂ કર્યું. કુટુંબનું ભરણપોષણ થાય એટલું કમાવામાં જ એમનો આખો દિવસ નીકળી જતો, પરંતુ એ્મનાં ગણિતમાં ક્રાન્તિકારી સંશોધનો પણ આ બધામાંથી સમય ચોરીને ચાલ્યા કરતાં. હોલ્મ્બોને એમની પ્રતિભામાં એટલો બધો વિશ્વાસ હતો કે એમણે એ્મને શિક્ષણના ખર્ચમાં મદદ અપાવી, એટલું જ નહીં, ગાંઠના ગોપીચંદ પણ કર્યા. પરંતુ દેશમાં ભૂખમરાની હાલત હતી. એમાં આબેલને ટીબી લાગુ પડી ગયો જેણે અંતે એનો જીવ લીધો.

ગાઉસનો ધુત્કાર

નૉર્વેમાં એ વખતે ગણિતમાં આગળ વધવા લાયક સ્કૂલ નહોતી. પરંતુ આબેલને નાણાકીય મદદ મળી જતાં એમણે ૧૮૨૩માં કૉપનહેગન જઈને ડેનમાર્કના ગણિતશાસ્ત્રીઓ સાથે સંપર્ક કર્યો. દરમિયાન ક્રિસ્ટિયાનિયા (હવે ઑસ્લો)ની યુનિવર્સિટીના સત્તાવાળાઓને આબેલના મિત્રોએ મનાવી લીધા. યુનિવર્સિટીએ નૉર્વે સરકારને આબેલને મદદ આપવા વિનંતિ કરી. યુદ્ધોને કારણે યુનિવર્સિટીની હાલત એવી હતી કે બહુ મદદ કરી શકે તેમ નહોતી. ગ્રાન્ટ મળી જશે એવી આશામાં આબેલે એક સંશોધનપત્ર પણ લખ્યો. એમને આશા હતી કે આ સંશિધન પત્ર મંજૂર રહેશે તો નૉર્વેનું નામ ગણિત ક્ષેત્રે ચમકશે. લેખ યુનિવર્સિટી પાસે પડ્યો રહ્યો અને અંતે ખોવાઈ ગયો! સરકાર હવે મદદ માટે તૈયાર તો થઈ પણ જર્મની કે ફ્રાન્સના ખર્ચ માટે નહીં, પણ યુનિવર્સિટીમાં રહીને જ ફ્રેન્ચ અને જર્મન શીખવા માટે! જો કે એક વર્ષ પછી આબેલને પૅરિસમાં આગળ અભ્યાસ માટે જવા માટે મદદ મળી. આબેલને મનમાં હતું કે પહેલાં જર્મનીમાં ગોતિંન્જેન જવું અને ત્યાં ગાઉસને મળવું, તે પછી પૅરિસ જવું.

આબેલે તે પહેલાં ગણિતશાસ્ત્રીઓને ૩૦૦ વર્ષથી મૂંઝવતી એક સમસ્યાનો ઉકેલ આપી દીધો હતો. સમસ્યા એ હતી કે ઘાતાંક ૫ હોય તેવાં (Quintic) બહુપદી ફંકશનોની કોઈ એક બૈજિક (Algebraic) ફૉર્મ્યૂલા એટલે કે મૂળ (Radicals)ના રૂપમાં ( મૂળ અથવા રૅડીક્લનું ચિહ્ન √a ) નહોતી મળતી. ફૉર્મ્યૂલા હતી તે ૪ ઘાતાંક સુધી જ કામ આપતી હતી.

દાખલા તરીકે, પહેલી અને બીજી ડિગ્રી (એટલે કે એક અનામ પદની ઘાત ૧ હોય તે પહેલી ડિગ્રી, ઘાત ૨ હોય તો બીજી ડિગ્રી) અથવા ત્રીજી અને ચોથી ડિગ્રી (પદની ઘાત ૩ અથવા ૪ હોય)નાં પદો હોય.

સેકંડડિગ્રી કેક્વાડ્રૅટિકબહુપદી એટલે 4x2, x2 – 9, અથવા ax2 + bx + c,

થર્ડડિગ્રી કેક્યૂબિકબહુપદી એટલે –6x3 અથવા x3 – 27,

ફોર્થડિગ્રી કેક્વાર્ટિકબહુપદી એટલે x4 અથવા 2x4 – 3x2 + 9,

ફિફ્થડિગ્રી કેક્વિન્ટિકબહુપદી એટલે 2x5 અથવા x5 – 4x3x + 7.

બહુપદીને 0 સાથે સરખાવો એટલે સમીકરણ બને . જેમ કે x2-5x+ 6 = ક્વાડ્રેટિક સમીકરણ છે. સમીકરણ છોડાવવું એટલે તેનો ઉકેલ શોધવો અથવા ‘x’ ની કિંમત શોધવી. માટે ક્યારેક ફૉર્મ્યૂલા પણ વાપરી શકાય, જેમ કે ક્વાડ્રેટિક માટે ફૉર્મ્યૂલા છેઃ

clip_image002

(આનો અર્થ કે આના બે જવાબ હશેઃ એક ધન, અને બીજો ઋણ). આવી ફૉર્મ્યૂલાઓ ચાર ઘાત સુધીનાં સમીકરણ (ક્વાર્ટિક) માટે પ્રચલિત હતી.

મૂર્ધન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓ પહેલાં તો એમ માનતા રહ્યા કે ક્વિન્ટિક માટે પણ ફૉર્મ્યૂલા મળી જશે. પરંતુ તે પછી એમાં ખામીઓ દેખાઈ. આમ છતાં એના ઉકેલ માટે પ્રયત્ન કરતા રહ્યા. જો કે ગાઉસ અને બીજા ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહેતા રહ્યા હતા કે ફૉર્મ્યૂલા નહીં મળે. પરંતુ શા માટે ફૉર્મ્યૂલા નહીં મળે તે જાણવાનો પ્રયાસ આબેલથી પહેલાં રૂફિનીએ કર્યો પણ એની સાબિતીઓ બરાબર નહોતી. આબેલે એનો સાચો ખુલાસો આપ્યો. આજે આ પ્રમેય (Theorem) Abel–Ruffini theorem અથવા Impossibility Theorem (અશક્યતાનું પ્રમેય) તરીકે ઓળખાય છે. પરંતુ ક્વિન્ટિકની બૈજિક ફૉર્મ્યૂલા બની જ ન શકે એવું નથી, એનો અર્થ એ કે ક્વિન્ટીક અને આગળની ઘાતો માટે દર વખતે નવી ફૉર્મ્યૂલા વાપરવી પડશે.

આબેલને આશા હતી કે ગાઉસ એ વાંચે અને સારા શબ્દો કહે તો આગ વધવાનું સહેલું થઈ જશે. પરંતુ ગાઉસના હાથમાં આબેલનો લેખ આવ્યાની સાથે એણે ફેંકી દીધો કે વળી કોઈ કચરો લઈને આવ્યો!” આબેલને આ સમાચાર મળતાં એમને આઘાત લાગ્યો. આબેલ ગોતિન્જેન ન ગયા અને ગાઉસને મળ્યા વિના જ પૅરિસ પહોંચ્યા અને દસ મહિના રહ્યા. આમ બે મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓ કદી ન મળ્યા, ગાઉસે આમ કેમ કર્યું તે વિશે જુદા જુદા મત છે. પણ આબેલનું ભરયુવાનીમાં મૃત્યુ થયા પછી ગાઉસને પોતાની ભૂલ સમજાઈ હોય એમ લાગે છે, કેમ કે એમણે એક મિત્રને પત્ર લખીને આબેલના અભ્યાસપત્રો અને એનું એક પોર્ટ્રેટ માગ્યું હોવાનું જણાય છે.

આબેલને પણ ગાઉસ માટે અણગમો થઈ ગયો હતો. એમણે એક મિત્રને પત્રમાં ગાઉસનાં અગમ્ય લખાણો માટે ટકોર કરી છેઃ એક શિયાળ છે, જે પોતાની પૂંછડીથી પગલાંની છાપ ભૂંસતું જાય છે!”

ક્રેલે સાથે મુલાકાત

ગાઉસના આ વર્તાવ પછી ગોતિન્જેન જવાનો તો સવાલ જ નહોતો, એટલે આબેલ બર્લિન ગયા. ત્યાં એમની મુલાકાત એક એવી વ્યક્તિ સાથે થઈ કે જેણે આબેલની કદર કરી. એ હતા. ઑગસ્ટ લિઓપોલ્ડ ક્રેલે. એ મૂળ તો સિવિલ એંજીનિયર, પણ ગણિતમાં બહુ રસ હતો. એમનો વિચાર ગણિતમાં થતાં નવાં સંશોધનો માટે એક મૅગેઝિન પ્રકાશિત કરવાનો હતો. આબેલ એમને મળ્યા. ક્રેલે પોતે પણ લખતા. આ મૅગેઝિન આજે પણ પ્રકાશિત થાય છે અને એનું મૂળ નામ ભૂલીને ગણિતના અભ્યાસીઓ એને ‘ક્રેલે’ના નામથી જ ઓળખે છે.

આબેલ એમને મળ્યા અને ક્રેલેનાં ગાણિતિક સંશોધનો વિશે ચર્ચા કરી. વખાણ તો કર્યાં પરંતુ ભૂલો પણ દેખાડી! ૨૩ વર્ષના છોકરાના આ ‘ઉદ્દંડ” વર્તનથી ક્રેલે નારાજ થવાને બદલે ખુશ થયા. તે પછી એમણે મૅગેઝિનના પ્રકાશનની યોજના આબેલને સમજાવી. આબેલ સંમત થયા. મૅગેઝિનના પહેલા ત્રણ અંકમાં જ આબેલના ૨૨ સંશોધનલેખો પ્રકાશિત થયા.

ફરી એક આંચકો

બર્લિન પછી આબેલ પૅરિસ ગયા પણ ફ્રાન્સમાં એમના કામની પ્રશંસા કરના્રા તો ઠીક, એના વિશે જાણતા હોય તેવા ગણિતશાસ્ત્રીઓ પણ બહુ ઓછા હતા. જે જાણતા હતા તે એ્મના સંશોધનપત્રનું મૂલ્ય પણ કોઈ બહુ ઊંચું નહોતા આંકતા. એ્મનું કામ બે બીજા ગણિતજ્ઞો લેઝાન્દર અને કોચીને તપાસ માટે આપવામાં આવ્યું. લેઝાન્દરે તો કહ્યું કે એને આબેલના અક્ષરો બહુ ખરાબ છે એટલે વાંચવામાં તકલીફ પડે છે. કોચી આબેલનો સંશોધન લેખ વાંચવા ઘરે લઈ ગયો અને કહી દીધું કે એનાથી લેખ અવળે હાથે મુકાઈ ગયો છે! આ લેખ આબેલના મૃત્યુ પછી બહાર આવ્યો અને ૧૮૪૧માં પ્રકાશિત થયો.

નૉર્વે પાછા ફરીને આબેલે ક્રિસ્ટિયાનિયામાં એક સ્કૂલમાં શિક્ષક તરીકે કામ શરૂ કર્યું. એ અરસામાં યુનિવર્સિટીમાં જગ્યા ખાલી પડી અને આબેલને આશા હતી કે એને મળી જશે. પરંતુ યુનિવર્સિટીએ હોલ્મ્બોને પસંદ કર્યા. હોલ્મ્બોએ કોશિશ કરી કે આબેલને એમની જગ્યાએ મૂકવામાં આવે, પણ યુનિવર્સિટીએ ના પાડી. હોલ્મ્બો ન લે તો કોઈ વિદેશીને જગ્યા આપવા યુનિવર્સિટી તૈયાર હતી, પણ આબેલ તો નહીં જ!

અને અંત

આ અરસામાં આબેલે સમીકરણના સિદ્ધાંત, એલિપ્ટિકલ ફંક્શન અને ઇંટીગ્રલ પર નવાં સંશોધનો કરી લીધાં હતાં. એમની તબીયત લથડતી જતી હતી. આબેલને ખબર હતી કે એના હાથમાં બહુ સમય નથી પરંતુ એમણે ખંતથી કામ કર્યે રાખ્યું. બીજી બાજુ બર્લિનમાં ક્રેલે પણ આબેલને યુનિવર્સિટીમાં નોકરી મળે તેવા પ્રયત્નો કરતા રહ્યા.

૧૮૨૯ની છઠ્ઠી ઍપ્રિલે પ્રખર ક્રાન્તિકારી ગણિતશાસ્ત્રી ૨૬ વર્ષ અને આઠ મહિનાની ઉંમરે અવસાન પામ્યો. બે દિવસ પછી, આબેલનો પરિવાર શોકમાં હતો ત્યારે ક્રેલેનો એક પત્ર મળ્યો. બર્લિન યુનિવર્સિટીએ એ્મની ગણિત વિભાગમાં પ્રોફેસર તરીકે નીમણૂક કરી હતી!

૧૯૨૯માં એમના મૃત્યુની clip_image004શતાબ્દી નિમિત્તે નૉર્વે સરકારે એમની યાદમાં ટપાલ ટિકિટોની શ્રેણી પણ પ્રકાશિત કરી હતી.

 

૨૦૦૨માં એમની દ્વિજન્મશતાબ્દીના વર્ષથી નૉર્વે સરકાર તરફ્થી આબેલ પુરસ્કાર પણ અપાય છે જેનું મહત્ત્વ નોબેલ પારિતોષિક કરતાં ઓછું નથી. ૨૦૦૭માં ભારતવંશી અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી સદામંગલમ રંગા આયંગર શ્રીનિવાસ વર્ધનને આ બહુમાન મળ્યું. ૨૦૦૮માં ભારત સરકારે એમને પદ્મભૂષણથી પણ નવાજ્યા. (અહીં)

ગણિત અને આબેલ

સૈદ્ધાંતિક ગણિતના ક્ષેત્રમાં આબેલનું પ્રદાન બહુ મહત્ત્વનું છે. હાયર મૅથના અભ્યાસીઓ આ વાત જાણતા હશે જ. ખાસ કરીને આબેલના નામે ગ્રુપ થિયરીનું એક પ્રમેય છે. આ વિષય સમજવાનું કે સમજાવવાનું સહેલું નથી, એટલે અહીં આપણે શક્ય તેટલી સાદી ભાષામાં ગ્રુપ થિયરી શું છે તે જાણીને સંતોષ માનીએ.

ગ્રુપ થિયરી

સામાન્ય જીવનમાં આપણે એક ઘટના જોઈએ ત્યારે તેના પરથી એની પાછળનો નિયમ તારવવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. તર્કશાસ્ત્રની ભાષામાં આને ‘નિગમન’થી ‘વ્યાપ્તિ’ સુધી જવાની ક્રિયા કહે છે. આપણે ‘વિશેષ’ પરથી ‘સામાન્ય’ તરફ જઈએ છીએ. આ ક્રિયા મૂર્તથી અમૂર્ત તરફ જવાની છે. કોઈ અમૂર્તને મૂર્તમાંથી શોધવા માટે અમૂર્ત એવું હોવું જોઈએ કે જે સર્વ સામાન્યપણે મૂર્તનાં બધાં જ રૂપોને આવરી લે. દાખલા તરીકે, માટીનો ચૂલો અથવા માટીની ઢીંગલીનો અમૂર્ત સિદ્ધાંત માટી છે.

ગણિતશાસ્ત્રીઓ આ પ્રક્રિયા ગણિત પર કરે છે. જેમ સંગીત જાણનારા શબ્દને નહીં, પણ એની પાછળના સુરને પકડે છે, તેમ ગણિતશાસ્ત્રીઓ એક સમીકરણ કે સમસ્યાને નહીં, એની અંદર છુપાયેલી રચનાને પકડવાનો પ્રયાસ કરે છે.

આબેલિયન ગ્રુપ એટલે એક સેટ. એની શરત કે એના બધા સભ્યોનો સરવાળો અથવા ગુણાકાર કરીએ કે એમને એકબીજા સાથે જોડીએ અથવા એમની જગ્યા બદલાવીએ તો પણ જે પરિણામ આવે તે સેટની બહાર જાય. દાખલા તરીકે, આપણે સંખ્યાઓ લઈએઃ ધન, ઋણ અને શૂન્ય (૧, ૨, ૧૪, ૬૦ વગેરે, -૧, -૨, -૧૪, -૬૦ વગેરે અને 0). હવે કોઈ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો કરોઃ ૨ + ૫ = ૭. આમ સંમેય સંખ્યાઓનો સરવાળો કરતાં સંમેય સંખ્યા જ મળે છે. એ જ રીતે, ૬ + (-૪) = ૨, અથવા ૧+ (-૧) = 0. આમ આપણે સંખ્યાઓની શ્રેણીમાંથી બહાર નથી નીકળતા. આમ આ એક સ્વયંપૂર્ણ વ્યવસ્થા છે એટલે એ એક ગ્રુપ થયું. આ આબેલિયન ગ્રુપ છે.

બીજો દાખલો લઈએઃ એક ચોરસ આકારની પૂંઠાની તકતી લો. એના કેન્દ્રમાં કાણું કરીને સોય ભેરવો. હવે તકતીને ફેરવો. થોડા ચક્કર માર્યા પછી તકતી અટકે ત્યારે તમે કહી નહીં શકો કે જે ખૂણો પહેલાં ડાબી બાજુ તમારા હાથની નજીક હતો તે જ ખૂણો ફરીથી ડાબી બાજુ તમારા હાથની નજીક આવ્યો કે કેમ. આમ આ સ્થિતિ ન બદલાઈ. આને ‘Symmetry’ (સમમિતિ) કહે છે. સમમિતિની બધી સ્થિતિ સમાન હોય છે એટલે એની બધી ગતિ, એમાં થયેલા ફેરફાર પણ સમમિતિ જ છે. તમે ઘડિયાળના કાંટાની જેમ તકતી ફેરવીને સમમિતિ બનાવી હોય તેને રદ પણ કરી શકો છો. જેમ ઉપરના ઉદાહરણમાં ૧ + (-૧) = 0 કર્યું તેમ. હવે તકતીને ઘડિયાળના કાંટાથી ઉલ્ટી દિશામાં ફેરવો, બસ. આ બન્ને ‘વિશેષ’ ઉદાહરણો છે. એમાંથી ‘સામાન્ય’ તરફ જતાં નિયમ બને છે, એમાં આ ઉદાહરણો જેવી ઘટનાઓના સંદર્ભની જરૂર નથી, તેમ છતાં એ નિયમ સાચો રહે છે. આ ગ્રુપ થિયરી છે.

ગ્રુપ થિયરી ઘણી બોર્ડ ગેમ્સમાં કામ આવે છે. ઇંટરનેટ પરથી ‘Solitaire’ શોધીને ડાઉનલોડ કરી લો. એમાં ગ્રુપ થિયરી શી રીતે કામ આવે છે તે સમજવું હોય તો વધારે માહિતી અહીં મળી શકશે.

0-0-0

દીપક ધોળકિયાનાં સંપર્કસૂત્રઃ
· ઇ-પત્રવ્યવહાર સરનામું: dipak.dholakia@gmail.com
· નેટવિશ્વ પરનું સરનામું: મારી બારી

Print Friendly
Facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmailFacebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmailby feather

2 Comments

  • pragnajuvyas says:

    આબેલ ના જમાનામા અશક્ય લાગતી વાત સિધ્ધ કરી.જેમ સંગીત જાણનારા શબ્દને નહીં, પણ એની પાછળના સુરને પકડે છે, તેમ ગણિતશાસ્ત્રીઓ એક સમીકરણ કે સમસ્યાને નહીં, એની અંદર છુપાયેલી રચનાને પકડવાનો પ્રયાસ કરે છે.અઘરા વિષયને સરળ રીતે સમજાવવા બદલ આભાર
    સાંપ્રત સમયમા તો એક ક્લીક દૂર
    Introduction to Foundations of Pure Mathematics – Dr Joel … – YouTube
    Video for youtube pure mathematics is abstraction:▶ 39:05
    https://www.youtube.com/watch?v=nORtCRDotZY
    Dec 12, 2014 – Uploaded by University of Nottingham
    The first class in Dr Joel Feinstein’s G11FPM Foundations of Pure Mathematics module covers motivation for
    Pure mathematics – YouTube
    Video for youtube pure mathematics is abstraction:▶ 11:37
    https://www.youtube.com/watch?v=FU_dHpBHK0Y
    Jan 22, 2016 – Uploaded by WikiAudio
    Pure mathematics Broadly speaking, pure mathematics is mathematics that studies entirely abstract …
    આપ આ રીતે ગુજરાતી યુ ટ્યુબ બનાવશોજી
    M-4 NDC’S SMART HOMEWORK (ગણિત સાવ … – YouTube
    Video for youtube ગણિત પ્યોર એબસ્ટ્રેકશન▶ 4:23
    https://www.youtube.com/watch?v=zcWEtRE5mHQ
    Jul 18, 2015 – Uploaded by Jayesh Vaghela
    M-4 NDC’S SMART HOMEWORK (ગણિત સાવ પાયાથી – સંખ્યાઓ-૪ ). Jayesh Vaghela. SubscribeSubscribedUnsubscribe 2,0562K.

  • આબેલ વિશે કશી જ ખબર ન હતી. દિપકભાઈનો આ અભ્યાસુ લેખ માટે આભાર.

    Graphic design માં Symmetry બહુ મજાનો વિષય છે. એના Math background માં હવે ચાંચ બુડાવવી પડશે!

    જો કોઈ વાચકને Graphic design માં રસ હોય તો મારો સમ્પર્ક કરે.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Powered By Indic IME